Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Оценка снизу. За $n$ месяцев Павел Витальевич выплатит не более $125000\cdot n$ рублей. За 8 месяцев это $125000\cdot 8 = 1\,000\,000$ рублей — ровно сумма кредита. Но банк ежемесячно начисляет ещё 1% на остаток долга, поэтому реальный долг всегда больше 1 000 000, и суммы выплат в 1 000 000 рублей не хватит. Значит, 8 месяцев мало.

Проверка 9 месяцев. Пусть каждый месяц Павел Витальевич платит ровно 125 000 рублей (это максимум разрешённого платежа). Формула изменения долга: сначала начисляется процент — $D\to 1{,}01D$, затем вычитается платёж — $D\to 1{,}01D-125000$.

Последовательно считаем (с округлением в большую сторону для долга):

• старт: $1\,000\,000$;
• после 1-го месяца: $1{,}01\cdot1000000-125000=885\,000$;
• после 2-го: $<895000-125000=770\,000$;
• после 3-го: $<780000-125000=655\,000$;
• после 4-го: $<665000-125000=540\,000$;
• после 5-го: $<550000-125000=425\,000$;
• после 6-го: $<435000-125000=310\,000$;
• после 7-го: $<320000-125000=195\,000$;
• после 8-го: $<205000-125000=80\,000$.

На каждом шаге прибавка процента меньше 10 000 рублей (так как долг уменьшается), поэтому оценки только улучшаются. После 8-го платежа долг меньше 80 000 рублей, значит на 9-м шаге начисление процента даст остаток менее $80000\cdot1{,}01<90000<125000$ рублей — этот остаток полностью покрывается последним платежом.

Таким образом, за 9 месяцев кредит закрывается, а за 8 — нет. Минимальное число месяцев — 9.