Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть первая выплата равна $x$ (млн руб.), тогда по условию каждая следующая выплата в 1,05 раза больше предыдущей: выплата в $k$-й месяц равна $1{,}05^{\,k-1}x$.

Допустим, что перед выплатой $k$-го месяца (после начисления процентов) долг равен $(13-k)\cdot 1{,}05^{\,k-1}x$. Проверим эту гипотезу по индукции: после выплаты долг становится $(12-k)\cdot 1{,}05^{\,k-1}x$, а после начисления процентов в следующем месяце — умножается на $1{,}05$, то есть $(12-k)\cdot 1{,}05^{\,k}x$. Это совпадает с формулой для $(k+1)$-го месяца: $(13-(k+1))\cdot1{,}05^{\,k}x=(12-k)\cdot1{,}05^{\,k}x$. Значит гипотеза верна для всех месяцев, а при $k=12$ долг после выплаты равен нулю — кредит полностью погашен, что и требуется.

При $k=1$ формула даёт: долг после начисления процентов в первый месяц равен $12x$. Но реально он равен $2{,}4\cdot1{,}05$ млн руб. (сумма кредита с начисленными процентами). Составим уравнение: $$12x = 2{,}4\cdot 1{,}05.$$ Отсюда $$x=\dfrac{2{,}4\cdot1{,}05}{12}=0{,}21\text{ млн руб.}$$

Таким образом первая выплата составляет $0{,}21$ млн руб. $=210$ тыс. рублей.