Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=270200$ руб. — сумма кредита, а $x$ — первый платёж. По условию второй платёж равен $3x$, третий — $9x$.

Шаг 1. Каждый год банк сначала начисляет 10% на остаток долга (умножает его на 1,1), а затем вычитается платёж. Запишем долг после каждого года:

После 1-го года: $1{,}1S-x$.

После 2-го года: $(1{,}1S-x)\cdot1{,}1-3x$.

После 3-го года: $\big((1{,}1S-x)\cdot1{,}1-3x\big)\cdot1{,}1-9x$.

Почему так: каждый раз к оставшемуся долгу применяется коэффициент 1,1 (рост на 10%), а затем вычитается очередной платёж — это и есть суть схемы кредита.

Шаг 2. По условию кредит полностью погашен за 3 года, значит долг после третьего платежа равен нулю: $$\big((1{,}1S-x)\cdot1{,}1-3x\big)\cdot1{,}1-9x=0.$$

Шаг 3. Раскроем скобки, собирая коэффициенты при $S$ и $x$: $$1{,}1^3S-1{,}1^2x-1{,}1\cdot3x-9x=0,$$ $$1{,}331S-x(1{,}21+3{,}3+9)=0,$$ $$1{,}331S=13{,}51x.$$

Почему так: степени 1,1 появляются потому, что рост долга каждый год умножает предыдущий результат ещё раз на 1,1, а платежи $x,3x,9x$ вычитаются на разных этапах, поэтому у них разные множители 1,1 (или их отсутствие).

Шаг 4. Находим $x$: $$x=\frac{1{,}331}{13{,}51}S=\frac{1331}{13510}S.$$

Шаг 5. Подставляем $S=270200$: $$x=\frac{1331}{13510}\cdot270200=26620\text{ руб.}$$

Это и есть первый платёж Дмитрия.