Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита, $a\%$ — ставка, тогда коэффициент роста долга за год $b=1+0{,}01a$. Каждый год 31 декабря долг сначала умножается на $b$, потом вычитается платёж $X$.

Если платежей три: после первого $S_1=Sb-X$, после второго $S_2=S_1b-X=Sb^2-(1+b)X$, после третьего $S_3=Sb^3-(1+b+b^2)X$. Так как долг погашен полностью, $S_3=0$, а $1+b+b^2=\dfrac{b^3-1}{b-1}$ (сумма геометрической прогрессии). Отсюда $$X=\frac{Sb^3(b-1)}{b^3-1}.$$

Аналогично, если платежей два: $S_2=Sb^2-(1+b)Y=0$, значит $$Y=\frac{Sb^2}{b+1}.$$

Подставим $S=7\,007\,000$, $a=20\%$, поэтому $b=1{,}2$.

$b^3=1{,}728$, $b^3-1=0{,}728$, $b-1=0{,}2$: $$X=\frac{7007000\cdot1{,}728\cdot0{,}2}{0{,}728}=3\,326\,400.$$

$b^2=1{,}44$, $b+1=2{,}2$: $$Y=\frac{7007000\cdot1{,}44}{2{,}2}=4\,586\,400.$$

За три платежа Тимофей отдал $3X=9\,979\,200$ руб., за два платежа он отдал бы $2Y=9\,172\,800$ руб.

Разница составляет $3X-2Y=9\,979\,200-9\,172\,800=806\,400$ рублей.