Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $D_n$ — долг на 15‑е число $n$‑го месяца после выплаты. По условию он равномерно убывает от 75 тыс. до 0 за 15 месяцев, поэтому $D_n=75-5n$ (тыс. руб.), то есть каждый месяц основной долг гасится на $5$ тыс. руб.

Долг, на который начисляются проценты, — это остаток на начало месяца, равный долгу на 15‑е число предыдущего месяца: $A_n=D_{n-1}=75-5(n-1)$.

За первые 10 дней месяца долг увеличивается на 7,5%, поэтому к моменту выплаты сумма равна $A_n\cdot1{,}075$. Выплата $P_n$ должна довести долг до $D_n$, значит: $$P_n=A_n\cdot1{,}075-D_n=A_n+0{,}075A_n-(A_n-5)=5+0{,}075A_n.$$ То есть каждая выплата состоит из постоянной части (5 тыс. руб. — гашение основного долга) и переменной части — процентов $0{,}075A_n$.

Условие $P_n<6{,}25$ означает $0{,}075A_n<1{,}25$, откуда $$A_n<\frac{1{,}25}{0{,}075}=\frac{50}{3}\approx16{,}67.$$

Подставим $A_n=75-5(n-1)$: $$75-5(n-1)<\frac{50}{3}\;\Rightarrow\;5(n-1)>75-\frac{50}{3}=\frac{175}{3}\;\Rightarrow\;n-1>\frac{35}{3}\approx11{,}67\;\Rightarrow\;n>12{,}67.$$

Поскольку $n$ — целое от 1 до 15, подходят $n=13,14,15$ — именно те месяцы, когда остаток долга перед начислением процентов равен 15, 10 и 5 тыс. руб. соответственно. В эти три месяца проценты малы, и общая выплата оказывается меньше 6,25 тыс. руб.

Значит, таких месяцев ровно 3.