Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $D_k$ — долг на 15‑е число месяца, отсчитывая от 15 августа 2026 г. ($k=0,1,\dots,10$). По условию долг уменьшается на 15‑е число каждый месяц на одну и ту же сумму $d$, а всего за 10 месяцев (с сентября по июнь) он падает с 1200 до 400 тыс., значит $10d=800$, $d=80$ тыс.

Таким образом $D_k=1200-80k$: 1200, 1120, 1040, …, 480, 400 (при $k=0,\dots,10$), а 15 июля долг равен 0.

Между 15‑м числом и 1‑м числом следующего месяца долг растёт на 1%, то есть становится $1.01D_k$. Со 2‑го по 14‑е число этого же месяца заёмщик гасит часть долга так, чтобы к 15‑му числу он стал равен $D_{k+1}$ (а в последний месяц — нулю). Значит выплата в $(k+1)$‑м месяце равна $1.01D_k-D_{k+1}$ для $k=0,\dots,9$, а последняя выплата (15 июля) равна $1.01D_{10}$, так как долг полностью гасится.

Сложим все выплаты: $$S=\sum_{k=0}^{9}\left(1.01D_k-D_{k+1}\right)+1.01D_{10}=1.01\sum_{k=0}^{10}D_k-\sum_{k=1}^{10}D_k.$$

Сумма всех 11 значений $D_k$ (от 1200 до 400) как арифметическая прогрессия: $$\sum_{k=0}^{10}D_k=\frac{1200+400}{2}\cdot11=8800.$$

Сумма 10 значений $D_k$ (от 1120 до 400): $$\sum_{k=1}^{10}D_k=\frac{1120+400}{2}\cdot10=7600.$$

Тогда $$S=1.01\cdot8800-7600=8888-7600=1288\text{ тыс. руб.}$$

Это и есть общая сумма всех выплат по кредиту.