Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $x$ — величина, на которую ежемесячно (15‑го числа) уменьшается долг, а $S$ — сумма кредита. Так как долг убывает равномерно 30 раз, а к 15 июня 2027 г. (30‑й месяц) он равен 100 тыс. руб., то $S-30x=100$, откуда $S=100+30x$.

Для месяца $n$ ($n=1,\dots,30$) долг перед начислением процентов равен $100+(31-n)x$. После начисления 2 % он становится $1{,}02\big(100+(31-n)x\big)$. Разница между этим значением и долгом после выплаты $100+(30-n)x$ — это сумма выплаты за месяц: $$P_n=1{,}02\big(100+(31-n)x\big)-\big(100+(30-n)x\big)=2+(1{,}62-0{,}02n)x.$$ Это соответствует данным таблицы (при $n=1$: $2+1{,}6x$, при $n=30$: $2+1{,}02x$).

Суммируем выплаты за 30 месяцев как арифметическую прогрессию: $$\sum_{n=1}^{30}P_n=2\cdot30+x\sum_{n=1}^{30}(1{,}62-0{,}02n)=60+x(48{,}6-9{,}3)=60+39{,}3x.$$

В 31‑м месяце долг просто гасится полностью: остаток 100 тыс. руб. увеличивается на 2 % и выплачивается сразу, то есть выплата равна $1{,}02\cdot100=102$ тыс. руб.

Общая сумма всех выплат: $$B=60+39{,}3x+102=162+39{,}3x.$$ По условию $B=555$, значит $$162+39{,}3x=555 \Rightarrow 39{,}3x=393 \Rightarrow x=10.$$

Тогда сумма кредита $$S=100+30x=100+300=400\text{ тыс. руб.}$$