Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим $B_i$ — остаток долга на конец месяца $i$, $X_i$ — платёж в конце месяца $i$. По условию долг растёт на 2%, а потом уменьшается на платёж: $B_i=1{,}02B_{i-1}-X_i$.

По условию долг убывает равномерно, то есть $B_i$ — арифметическая прогрессия. Известны крайние значения: $B_0=1200$ (тыс. руб.), $B_{24}=0$ (кредит полностью выплачен за 24 месяца). Общая формула арифметической прогрессии с этими граничными условиями даёт: $$B_i=\frac{24-i}{24}\cdot 1200.$$

Теперь найдём платёж $X_i$ из соотношения выше: $$X_i=1{,}02B_{i-1}-B_i=1{,}02\cdot\frac{25-i}{24}\cdot1200-\frac{24-i}{24}\cdot1200=\frac{1{,}5-0{,}02i}{24}\cdot1200.$$

Поскольку $X_i$ — линейная функция от $i$, последовательность платежей сама является арифметической прогрессией. Значит, сумму первых 12 платежей (то есть выплаты за первый год) можно найти через среднее первого и последнего члена, умноженное на количество членов: $$X_1+X_2+\dots+X_{12}=\frac{X_1+X_{12}}{2}\cdot12=6(X_1+X_{12}).$$

Вычислим крайние значения: $$X_1=\frac{1{,}48}{24}\cdot1200=50\cdot1{,}48=74,\qquad X_{12}=\frac{1{,}26}{24}\cdot1200=50\cdot1{,}26=63.$$

Тогда сумма выплат за первый год: $$6(74+63)=6\cdot137=822\ \text{тыс. руб.}$$