Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть сумма кредита равна $S$. По схеме дифференцированных платежей долг уменьшается равномерно на $\frac{S}{12}$ каждый месяц. Значит, перед начислением процентов в конце месяцев остаток долга принимает значения $S,\ \frac{11S}{12},\ \frac{10S}{12},\dots,\frac{S}{12},\ 0$.

Обозначим $k=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент, на который умножается остаток долга при начислении процентов за месяц. Тогда сумма долга с процентами перед каждым платежом равна $kS,\ \dfrac{11kS}{12},\dots,\dfrac{kS}{12}$.

Платёж за месяц — это начисленные проценты плюс погашение основной части долга $\dfrac{S}{12}$. Для $i$-го платежа (считая с конца) он равен $\dfrac{i(k-1)S+S}{12}$, где $i$ пробегает значения $1,2,\dots,12$ (в обратном порядке).

Суммируя все платежи, основная часть в сумме даёт $S$, а сумма процентных частей равна $S(k-1)\cdot\dfrac{1+2+\dots+11}{12}=S(k-1)\cdot\dfrac{66}{12}=S(k-1)\cdot\dfrac{11}{2}$. Учитывая последний, двенадцатый месяц без процентов на остаток (там остаток нулевой), итоговая формула суммы всех выплат: $$S\left(1+\frac{13(k-1)}{2}\right).$$

По условию общая выплата на 13% больше суммы кредита, то есть равна $1{,}13S$. Приравниваем: $$1+\frac{13(k-1)}{2}=1{,}13.$$ Отсюда $13(k-1)=0{,}26$, значит $k-1=0{,}02$, то есть $k=1{,}02$.

Поскольку $k=1+\dfrac{r}{100}$, получаем $\dfrac{r}{100}=0{,}02$, то есть $r=2$.