Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита, $x\%$ — месячная ставка.

По условию долг уменьшается равными частями, то есть каждый месяц Антон гасит $\frac{S}{6}$ основного долга. Тогда перед начислением процентов остаток долга в 1‑й, 2‑й, …, 6‑й месяцы равен $S,\ \frac{5S}{6},\ \frac{4S}{6},\ \frac{3S}{6},\ \frac{2S}{6},\ \frac{S}{6}$ соответственно — именно на эти суммы начисляется процент $0{,}01x$.

Сложим все начисленные проценты: $$0{,}01xS\Big(1+\frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\Big).$$

Сумма в скобках — арифметическая прогрессия от $\frac16$ до $1$ с шагом $\frac16$, её сумма равна $\dfrac{(1+\frac16)\cdot 6}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5$.

Почему так: сумма арифметической прогрессии равна (первый член + последний член)·количество членов /2 — стандартная формула.

Значит, общая сумма начисленных процентов равна $0{,}01xS\cdot 3{,}5=0{,}035xS$.

Всего Антон выплатил основной долг $S$ плюс проценты: $$S+0{,}035xS=S(1+0{,}035x).$$

По условию эта сумма на 63% больше суммы кредита, то есть равна $1{,}63S$. Составляем уравнение: $$S(1+0{,}035x)=1{,}63S.$$

Делим обе части на $S$ (сумма кредита положительна, поэтому деление допустимо): $$1+0{,}035x=1{,}63.$$

Отсюда: $$0{,}035x=0{,}63 \;\Rightarrow\; x=\frac{0{,}63}{0{,}035}=18.$$

Таким образом, месячная процентная ставка равна 18%.