Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Чтобы кредит был выплачен за минимальный срок, платежи должны быть как можно больше — то есть равны максимально допустимым 90 тыс. руб. (кроме, возможно, последнего, меньшего платежа).

Проверка 7 месяцев. Максимально возможная сумма выплат за 7 месяцев: $7\times 90=630$ тыс. руб. Это меньше суммы кредита 700 тыс. руб., то есть долг не может быть погашен даже без учёта процентов. Значит, 7 месяцев не хватает.

Проверка 8 месяцев. Долг растёт по формуле $D_{k+1}=D_k\cdot 1{,}02$, а после выплаты уменьшается на платёж. За первый месяц начисляются проценты $700\times0{,}02=14$ тыс. руб. — это фиксированная величина, не зависящая от размера платежа. После первой максимальной выплаты 90 тыс. остаток долга минимален: $714-90=624$ тыс. руб., и проценты за второй месяц не могут быть меньше $624\times0{,}02=12{,}48$ тыс. руб. Значит, суммарно за первые два месяца проценты не меньше $14+12{,}48=26{,}48$ тыс. руб., и общая сумма, которую нужно выплатить за весь срок, не меньше $700+26{,}48=726{,}48$ тыс. руб. Но максимум возможных выплат за 8 месяцев — $8\times90=720$ тыс. руб., что меньше требуемой суммы. Значит, 8 месяцев тоже не хватает.

Проверка 9 месяцев. Составим график: каждый месяц долг умножается на 1,02, затем вычитается платёж 90 тыс. (кроме последнего месяца):

$700\to714\to624\to636{,}48\to546{,}48\to557{,}41\to467{,}41\to476{,}76\to386{,}76\to394{,}5\to304{,}5\to310{,}59\to220{,}59\to225{,}0\to135{,}0\to137{,}7\to47{,}7\to48{,}66$…

(точный расчёт, приведённый в таблице, даёт последний платёж $52{,}02$ тыс. руб.). Все промежуточные платежи равны 90 тыс. руб., последний — меньше, долг полностью погашается. Значит, за 9 месяцев схема реализуема, и это минимальный возможный срок.