Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит равен $A$ млн руб., срок — 48 месяцев. По условию 15‑го числа каждого месяца долг уменьшается на одну и ту же величину, значит основной долг гасится равными частями $\dfrac{A}{48}$ в месяц. Тогда долг после уплаты $n$‑го платежа (т.е. долг на 15‑е число $n$‑го месяца) равен $\dfrac{48-n}{48}A$, а перед началом $n$‑го месяца (после начисления 1% к прежнему остатку) долг составлял $\dfrac{49-n}{48}A$.

Проценты за $n$‑й месяц начисляются на этот остаток: $0{,}01\cdot\dfrac{49-n}{48}A$. Поэтому платёж $n$‑го месяца равен $$\dfrac{A}{48}+0{,}01\cdot\dfrac{49-n}{48}A.$$

2030 год — это последние 12 месяцев кредита, то есть месяцы с 37‑го по 48‑й. Сумма платежей за них: $$12\cdot\dfrac{A}{48}+0{,}01\cdot\dfrac{A}{48}\left(12+11+\dots+1\right).$$

Сумма чисел от 1 до 12 равна $\dfrac{12\cdot13}{2}=78$, значит второй член равен $0{,}01\cdot\dfrac{78}{48}A=0{,}01\cdot1{,}625A$.

Таким образом $$0{,}25A+0{,}01625A=0{,}26625A.$$

По условию эта сумма равна $6{,}39$ млн руб.: $$0{,}26625A=6{,}39 \Rightarrow A=\dfrac{6{,}39}{0{,}26625}=24.$$

Значит, кредит был взят на сумму 24 млн рублей.