ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредиты

15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Погашение основного долга равными долями S/24S/24 приводит к тому, что ежемесячный платёж (с учётом начисленных 3%) меняется линейно с номером месяца, то есть платежи образуют арифметическую прогрессию; сумму платежей за 2027 год (месяцы 13–24) находят по формуле суммы арифметической прогрессии.

Обозначим сумму кредита S=6S=6 млн руб. и коэффициент ежемесячного роста долга k=1+3100=1,03k=1+\dfrac{3}{100}=1{,}03.

Как устроен долг. По условию 15‑го числа каждого месяца остаток долга уменьшается на одну и ту же величину, а всего таких уменьшений 24, поэтому шаг равен S/24S/24. Значит после nn‑го платежа (на 15‑е число) долг равен Долгn=24−n24S\text{Долг}_n=\dfrac{24-n}{24}S, причём Долг0=S\text{Долг}_0=S.

Формула платежа. Перед платежом долг за месяц вырастает в kk раз (проценты), поэтому сумма к оплате в nn‑м месяце — разница между "выросшим" долгом и тем, что должно остаться: Bn=k⋅Долгn−1−Долгn=k⋅25−n24S−24−n24S.B_n=k\cdot \text{Долг}_{n-1}-\text{Долг}_n=k\cdot\frac{25-n}{24}S-\frac{24-n}{24}S. Это линейная функция от nn, значит платежи образуют арифметическую прогрессию.

2027 год — это месяцы с 13‑го по 24‑й (первый год — январь–декабрь 2026, т.е. месяцы 1–12). Сумма 12 членов арифметической прогрессии равна B=B13+B242⋅12.B=\frac{B_{13}+B_{24}}{2}\cdot 12.

Подставим номера в формулу платежа: B13=1224(kS−S)+S24,B24=124(kS−S)+S24.B_{13}=\frac{12}{24}(kS-S)+\frac{S}{24},\qquad B_{24}=\frac{1}{24}(kS-S)+\frac{S}{24}.

Складывая и упрощая, получаем B=14S(13k−11).B=\frac{1}{4}S(13k-11).

Подставляем S=6S=6, k=1,03k=1{,}03: B=14⋅6⋅(13⋅1,03−11)=1,5⋅(13,39−11)=1,5⋅2,39=3,585 млн руб.B=\frac14\cdot6\cdot(13\cdot1{,}03-11)=1{,}5\cdot(13{,}39-11)=1{,}5\cdot2{,}39=3{,}585\text{ млн руб.}

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что равными частями погашаются именно платежи, а не сам долг на 15-е число, из-за чего неверно строится формула платежа.
  • Неправильное определение границ 2027 года — путают, какие номера месяцев (13–24) относятся к этому году, из-за смещения начала кредита на середину декабря.
  • Забывают, что перед вычислением платежа долг сначала увеличивается на 3% (умножается на kk), и вычитают проценты только из части долга, а не из всего остатка предыдущего месяца.
Непонятно?

Похожие задачи