Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита. Так как ежегодно (в частности, ежемесячно) остаток основного долга уменьшается на одну и ту же величину, каждый месяц гасится $\dfrac{S}{48}$ тыс. руб. основного долга, а сверху начисляются проценты $r\%$ на долг, оставшийся после предыдущего платежа.

Если к началу $k$‑го месяца (после $k-1$ платежей) долг равен $S-\dfrac{(k-1)S}{48}$, то платёж в этом месяце равен $$\dfrac{S}{48}+\left(S-\dfrac{(k-1)S}{48}\right)\cdot\dfrac{r}{100}.$$

Платежи 2029 года — это месяцы $k=25,\dots,36$ (2027‑й год — месяцы 1–12, 2028‑й — 13–24). Суммируя 12 таких платежей, часть "тела кредита" даёт $12\cdot\dfrac{S}{48}=\dfrac{S}{4}$, а сумма процентов — арифметическую прогрессию с шагом $\dfrac{S}{48}\cdot\dfrac r{100}$, средний член которой соответствует $k=30.5$, то есть коэффициент $\dfrac{24+13}{2}=18.5$, умноженный на 12 даёт $\dfrac{37}{8}$. Итог: $$S\left(\dfrac14+\dfrac{37r}{800}\right)=\dfrac{S(37r+200)}{800}=3555.$$

Аналогично для 2030 года (месяцы $k=37,\dots,48$) получаем среднее $\dfrac{12+1}{2}=6.5$, умноженное на 12 даёт $\dfrac{13}{8}$, и $$S\left(\dfrac14+\dfrac{13r}{800}\right)=\dfrac{S(13r+200)}{800}=3195.$$

Разделив первое уравнение на второе, $S$ сокращается: $$\dfrac{37r+200}{13r+200}=\dfrac{3555}{3195}=\dfrac{79}{71}.$$

Решая, $71(37r+200)=79(13r+200)$, то есть $2627r+14200=1027r+15800$, откуда $1600r=1600$, значит $r=1$.