ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредиты

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тысячу рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Равномерное погашение основного долга (18/60=0,318/60=0,3 млн/мес) и начисление процентов на остаток долга приводят к арифметической прогрессии остатков, сумма которых за 2031 год (месяцы 49–60) позволяет составить уравнение для нахождения ставки rr.

Основной долг гасится равными частями: 18/60=0,318/60=0,3 млн руб. в месяц — это следует из условия, что долг на 15‑е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем.

Проценты начисляются 1‑го числа на долг, оставшийся на конец предыдущего месяца (то есть на 15‑е число). Тогда долг перед nn‑м месяцем равен 18−0,3(n−1)18-0,3(n-1) млн руб., а проценты за этот месяц составляют (18−0,3(n−1))⋅r100\left(18-0,3(n-1)\right)\cdot\dfrac{r}{100}.

Кредит взят 15.12.2026, значит месяц 1 — январь 2027, а месяц 60 — декабрь 2031. Весь 2031 год приходится на месяцы с 49‑го по 60‑й (12 платежей). Долг перед 49‑м месяцем: 18−0,3⋅48=3,618-0,3\cdot48=3,6 млн, перед 60‑м: 18−0,3⋅59=0,318-0,3\cdot59=0,3 млн.

Сумма всех платежей за эти 12 месяцев — это сумма основного долга плюс сумма процентов: 0,3⋅12+r100(3,6+3,3+⋯+0,3)=3,951.0,3\cdot12+\frac{r}{100}\left(3,6+3,3+\dots+0,3\right)=3,951.

Выражение в скобках — арифметическая прогрессия с 12 членами, первым 3,63,6 и последним 0,30,3: 3,6+3,3+⋯+0,3=3,6+0,32⋅12=23,4.3,6+3,3+\dots+0,3=\frac{3,6+0,3}{2}\cdot12=23,4.

Подставляем: 3,6+r100⋅23,4=3,9513,6+\dfrac{r}{100}\cdot23,4=3,951, то есть 0,234r=0,3510,234r=0,351, откуда r=1,5r=1,5.

Типичные ошибки

  • Неправильное определение, какие месяцы соответствуют 2031 году (ошибка в подсчёте номеров месяцев с начала кредита).
  • Начисление процентов на долг после платежа, а не на долг, оставшийся с предыдущего месяца.
  • Ошибка при суммировании арифметической прогрессии процентов — неверное количество членов или неверные первый/последний члены.
Непонятно?

Похожие задачи