ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 25,2 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

—  15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг на 15-е число каждого месяца убывает равными долями (аннуитет по основному долгу), а платеж состоит из этой доли плюс 5% начисленных на оставшийся долг перед платежом — эти платежи суммируются как арифметическая прогрессия.

Ежемесячное уменьшение долга по состоянию на 15-е число постоянно и равно 2520036=700\dfrac{25200}{36}=700 тыс. руб. Значит, к 15 декабря 2028 года остаток долга равен 12×70012\times700 тыс. руб., а далее к каждому следующему 15-му числу он уменьшается на 700, доходя до нуля через год: 12⋅700,  11⋅700,  …,  2⋅700,  1⋅700,  0.12\cdot700,\;11\cdot700,\;\dots,\;2\cdot700,\;1\cdot700,\;0.

С 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 5% по сравнению с его величиной на 15-е число предыдущего месяца. Поэтому перед платежом в kk-м месяце (считая от декабря 2028, k=12,11,…,1k=12,11,\dots,1) долг равен 1,05⋅k⋅700.1{,}05\cdot k\cdot700.

Платеж — это разница между долгом «до» и «после» платежа, то есть между значением после начисления 5% и значением на следующее 15-е число (k−1)⋅700(k-1)\cdot700: Pk=1,05⋅k⋅700−(k−1)⋅700=700+35k.P_k=1{,}05\cdot k\cdot700-(k-1)\cdot700=700+35k.

Суммируем платежи за 12 месяцев 2029 года (k=1,…,12k=1,\dots,12): ∑k=112(700+35k)=12⋅700+35∑k=112k=8400+35⋅78=8400+2730=11130 тыс. руб.\sum_{k=1}^{12}(700+35k)=12\cdot700+35\sum_{k=1}^{12}k=8400+35\cdot78=8400+2730=11130\text{ тыс. руб.}

Таким образом, общая сумма платежей за 2029 год равна 11 130 000 рублей.

Типичные ошибки

  • Забывают, что 5% начисляются именно на долг по состоянию на 15-е число предыдущего месяца, а не на текущий остаток после платежа.
  • Ошибочно считают, что уменьшение долга на 15-е число происходит неравными частями, хотя по условию оно должно быть постоянным.
  • Путают порядок начисления процентов и платежа, из-за чего неверно составляют формулу платежа Pk=700+35kP_k=700+35k.
Непонятно?

Похожие задачи