Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

1. Долг на 15-е число уменьшается равными частями: за 15 месяцев с 1100 до 500 тыс. руб., то есть на $1100-500=600$ тыс. руб. Ежемесячное уменьшение: $\dfrac{600}{15}=40$ тыс. руб. Значит, ряд долгов на 15-е число: $1100,1060,1020,\dots,540,500,0$ (шаг $-40$).

2. Обозначим $k=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент роста долга за счёт начисления процентов 1-го числа. Тогда на 1-е число месяца долг равен произведению долга предыдущего 15-го числа на $k$: получаем последовательность $1100k,1060k,\dots,540k,500k$.

3. В каждом месяце (кроме последнего) выплата состоит из процентов, начисленных за месяц, и части основного долга $40$ тыс.: $D(k-1)+40$, где $D$ — долг на начало месяца до начисления. В последнем месяце выплата закрывает весь оставшийся долг $500k$.

4. Сумма всех платежей: $(k-1)\cdot\sum D + 15\cdot40+500k$, где $\sum D=1100+1060+\dots+540=\dfrac{15(1100+540)}{2}=12300$.

Итого: $(k-1)\cdot12300+600+500k=12800k-11700$.

5. По условию сумма платежей равна 1228: $12800k-11700=1228 \Rightarrow 12800k=12928 \Rightarrow k=1{,}01$.

6. Так как $k=1+\dfrac{r}{100}$, получаем $r=1$.