Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим $k=1+\dfrac{r}{100}$ — во столько раз долг увеличивается за счёт процентов за один месяц.

По условию долг на 15‑е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину, то есть равномерно идёт от 9 млн до 0 за 36 месяцев. Значит месячный «шаг» погашения долга равен $\dfrac{9}{36}=0{,}25$ млн руб., и долг на 15‑е число $n$‑го месяца после взятия кредита равен $9-0{,}25n$ млн руб.

Платёж, который вносится в $n$‑м месяце, — это разница между долгом после начисления процентов (на 1‑е число месяца, т.е. $k\cdot(9-0{,}25(n-1))$) и долгом, который должен остаться на 15‑е число этого месяца ($9-0{,}25n$): $$P_n=k\bigl(9-0{,}25(n-1)\bigr)-\bigl(9-0{,}25n\bigr).$$

Январь 2027 — это $n=1$ (первый месяц после декабря 2026), декабрь 2027 — $n=12$. Тогда $$P_1=9k-8{,}75,\qquad P_{12}=6{,}25k-6.$$

Платежи образуют арифметическую прогрессию (каждый следующий меньше предыдущего на $0{,}25k$), поэтому сумма за 12 месяцев равна среднему первого и последнего членов, умноженному на число месяцев: $$\frac{P_1+P_{12}}{2}\cdot12=4{,}83.$$

Подставляем: $$\frac{9k-8{,}75+6{,}25k-6}{2}\cdot12=4{,}83\;\Rightarrow\;15{,}25k-14{,}75=0{,}805\;\Rightarrow\;15{,}25k=15{,}555\;\Rightarrow\;k=1{,}02.$$

Отсюда $1+\dfrac{r}{100}=1{,}02$, то есть $r=2$.