ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-⁠го декабря планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  с 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 24-⁠й долг должен быть на 45 тыс. руб. меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15-⁠му числу 25-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит 1830 тыс. руб.?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Записать долг на 15‑е число каждого месяца как убывающую на постоянную величину xx последовательность, выразить платежи через рост долга на 2% и убывание остатка, свернуть сумму 24 платежей как арифметическую прогрессию, добавить последний платёж и решить уравнение на SS.

Пусть SS — сумма кредита (в тыс. руб.), x=45x=45 тыс. руб. — величина, на которую долг уменьшается каждое 15‑е число, k=1+2100=1,02k=1+\frac{2}{100}=1{,}02 — коэффициент ежемесячного увеличения долга.

Долг на 15‑е число месяца nn (n=0,...,24) равен S−nxS-nx, а к 15‑му числу 25‑го месяца долг равен 0.

К 1‑му числу месяца nn долг с 15‑го числа предыдущего месяца вырастает на 2%: он становится k(S−(n−1)x)k(S-(n-1)x).

В месяцы 1–24 платёж — это разница между долгом на 1‑е число и остатком, который должен быть на 15‑е число: k(S−(n−1)x)−(S−nx)k(S-(n-1)x)-(S-nx). Эти платежи образуют арифметическую прогрессию (разность соседних членов равна −0,02x-0{,}02x), а 25‑й (последний) платёж полностью закрывает долг: k(S−24x)k(S-24x).

Сумма первых 24 членов прогрессии по формуле a1+a242⋅24\frac{a_1+a_{24}}{2}\cdot 24 плюс последний платёж даёт общую сумму выплат: B=25kS−24S+300x−300kx.B=25kS-24S+300x-300kx.

Подставляем k=1,02k=1{,}02, x=45x=45, B=1830B=1830: 25⋅1,02⋅S−24S+300⋅45−300⋅1,02⋅45=1830,25\cdot1{,}02\cdot S-24S+300\cdot45-300\cdot1{,}02\cdot45=1830, 1,5S−270=1830,1{,}5S-270=1830, S=1400.S=1400.

Значит, сумма кредита равна 1400 тыс. руб., то есть 1 миллион 400 тысяч рублей.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что рост долга на 2% происходит от долга на 15‑е число предыдущего месяца, а не от текущего остатка после платежа
  • Ошибаются при определении первого и последнего члена арифметической прогрессии платежей, путая номера месяцев
  • Забывают, что 25‑й платёж — это не часть прогрессии, а отдельное полное погашение долга
Непонятно?

Похожие задачи