Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим $S$ — искомый долг на 15-е число 20-го месяца, $k=1+\dfrac{2}{100}=1{,}02$ — коэффициент месячного удорожания долга, $x=6$ тыс. руб. — сумма, на которую долг уменьшается каждое 15-е число (с 1-го по 20-й месяц).

Поскольку каждый месяц долг сначала растёт в $k$ раз (проценты), а затем к 15-му числу гасится на $x$, долг на 15-е число месяца $n$ (при $n=1,\dots,20$) равен $S+(20-n)x$. Отсюда долг на 1-е число месяца $n$ (после начисления процентов на прошлый остаток) равен $kS+(21-n)kx$, а сумма промежуточного платежа со 2 по 14 число месяца $n$ — это разность между долгом на 1-е и долгом на 15-е число: $$P_n=(k-1)S+(21-n)kx-(20-n)x.$$ При переходе от $n$ к $n+1$ значение $P_n$ уменьшается на постоянную величину $x(k-1)$ — значит платежи образуют арифметическую прогрессию из 20 членов.

Первый член ($n=1$): $(k-1)S+20kx-19x$. Последний член ($n=20$): $(k-1)S+kx$.

Сумма арифметической прогрессии: $$\Sigma=\frac{[(k-1)S+20kx-19x]+[(k-1)S+kx]}{2}\cdot20=20(k-1)S+210kx-190x.$$

К этой сумме нужно добавить последний платёж — полное погашение остатка $kS$ к 15-му числу 21-го месяца. Итоговая сумма всех выплат: $$B=20(k-1)S+210kx-190x+kS.$$

Подставим $k=1{,}02$, $x=6$: $$B=20\cdot0{,}02\,S+210\cdot1{,}02\cdot6-190\cdot6+1{,}02S=1{,}42S+145{,}2.$$

По условию $B=187{,}8$, значит $$1{,}42S+145{,}2=187{,}8\ \Rightarrow\ 1{,}42S=42{,}6\ \Rightarrow\ S=30.$$