ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитахЗадачи о вкладах

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а второй год  —  150 000 рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Ввести множитель роста долга b=1+r/100b=1+r/100 и последовательно составить выражение остатка долга после каждого года, приравняв остаток после второго года к нулю.

Пусть коэффициент годового увеличения долга равен b=1+r100b=1+\dfrac{r}{100}: именно во столько раз умножается остаток долга каждый январь, ведь начисление процентов — это увеличение суммы на r%r\%.

Начальная сумма кредита — 200000 руб. После первого января долг становится 200000b200000b. Затем с февраля по июнь выплачивается 130000 руб., поэтому остаток на конец первого года: 200000b−130000.200000b-130000.

Во второй январь этот остаток снова увеличивается в bb раз (проценты начисляются на текущий долг), а затем выплачивается 150000 руб. Получаем остаток после второго года: (200000b−130000)b−150000.(200000b-130000)b-150000.

По условию кредит полностью погашен за два года, значит этот остаток равен нулю: (200000b−130000)b−150000=0.(200000b-130000)b-150000=0.

Раскрываем скобки — получаем квадратное уравнение: 200000b2−130000b−150000=0.200000b^2-130000b-150000=0.

Делим на 10000 для упрощения: 20b2−13b−15=0.20b^2-13b-15=0.

Решая через дискриминант, находим корни: b=1,25илиb=−0,6.b=1{,}25 \quad \text{или} \quad b=-0{,}6.

Поскольку b=1+r100>0b=1+\dfrac{r}{100}>0 по смыслу задачи (процентная ставка положительна), подходит только b=1,25b=1{,}25.

Отсюда: 1+r100=1,25  ⇒  r100=0,25  ⇒  r=25.1+\dfrac{r}{100}=1{,}25 \;\Rightarrow\; \dfrac{r}{100}=0{,}25 \;\Rightarrow\; r=25.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток долга после предыдущей выплаты, а не на первоначальную сумму
  • Не отбрасывают отрицательный корень квадратного уравнения, хотя он не имеет смысла для процентной ставки
  • Путают порядок операций — сначала начисление процентов, потом выплата, а не наоборот
Непонятно?

Похожие задачи