ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг ежегодно умножается на 1,2, а затем уменьшается на постоянный платёж x; условие полного погашения после 4-го платежа даёт уравнение, где коэффициенты при S и x образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1,2.

Раз выплаты одинаковы и всего их четыре, а суммарно банку отдали 311 040 руб., то один платёж равен x=311040:4=77760x=311040:4=77760 руб.

Обозначим сумму кредита за SS и проследим долг по годам. В январе долг умножается на 1,2 (рост на 20%), а с февраля по июнь из него вычитается платёж xx.

Июль 2018: долг SS. Январь 2019: 1,2S1{,}2S. После выплаты — 1,2S−x1{,}2S-x. Январь 2020: 1,2(1,2S−x)1{,}2(1{,}2S-x). После выплаты — 1,2(1,2S−x)−x1{,}2(1{,}2S-x)-x. Январь 2021: 1,2(1,2(1,2S−x)−x)1{,}2\big(1{,}2(1{,}2S-x)-x\big). После выплаты — та же величина минус xx. Январь 2022: 1,2(1,2(1,2(1,2S−x)−x)−x)1{,}2\Big(1{,}2\big(1{,}2(1{,}2S-x)-x\big)-x\Big). После четвёртой выплаты долг должен стать нулём: 1,2(1,2(1,2(1,2S−x)−x)−x)−x=0.1{,}2\Big(1{,}2\big(1{,}2(1{,}2S-x)-x\big)-x\Big)-x=0.

Раскрывая скобки, получаем, что степени 1,2 при SS и при xx образуют геометрическую прогрессию: 1,24S=x(1,23+1,22+1,2+1).1{,}2^4 S = x\left(1{,}2^3+1{,}2^2+1{,}2+1\right).

Отсюда S=1,23+1,22+1,2+11,24 x=5,3682,0736⋅77760=201300 руб.S=\frac{1{,}2^3+1{,}2^2+1{,}2+1}{1{,}2^4}\,x=\frac{5{,}368}{2{,}0736}\cdot 77760=201300\text{ руб.}

Таким образом, сумма кредита составляет 201 300 рублей.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют момент начисления процентов и платежа, путая порядок операций (умножение на 1,2 и вычитание x).
  • Ошибочно делят 311 040 не на число платежей, а на что-то другое, получая неверное значение x.
  • Допускают арифметические ошибки при возведении 1,2 в степени и при делении суммы прогрессии на 1,241,2^4.
Непонятно?

Похожие задачи