ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Записать баланс долга через год как Sk=Sk−1q−ΦS_{k}=S_{k-1}q-\Phi, приравнять итоговый долг к нулю через три года и выразить SS через Φ\Phi и qq, воспользовавшись тем, что Φ\Phi делится на qq несколько раз без остатка — это упрощает вычисления.

Пусть SS — сумма кредита, q=1,31q=1{,}31 — коэффициент роста долга за год (100%+31%), Φ=69 690 821\Phi=69\,690\,821 — ежегодный платёж.

Шаг 1. Составим баланс долга по годам. В начале года долг умножается на qq (набегают проценты), а затем вычитается платёж Φ\Phi: S1=Sq−Φ,S_1=Sq-\Phi, S2=S1q−Φ=Sq2−Φq−Φ,S_2=S_1q-\Phi=Sq^2-\Phi q-\Phi, S3=S2q−Φ=Sq3−Φq2−Φq−Φ.S_3=S_2q-\Phi=Sq^3-\Phi q^2-\Phi q-\Phi. По смыслу задачи после трёх лет долг погашен полностью, значит S3=0S_3=0.

Шаг 2. Получаем формулу для суммы кредита. Из S3=0S_3=0: Sq3=Φ(q2+q+1) ⇒ S=Φ(q2+q+1)q3.Sq^3=\Phi(q^2+q+1)\ \Rightarrow\ S=\frac{\Phi(q^2+q+1)}{q^3}. Это стандартная формула аннуитетного платежа, только выраженная относительно основной суммы.

Шаг 3. Упростим вычисления, используя кратность. Заметим, что деление Φ\Phi на qq три раза даёт целое число: 69 690 821:1,31=53 199 100,53 199 100:1,31=40 610 000,40 610 000:1,31=31 000 000.69\,690\,821:1{,}31=53\,199\,100,\quad 53\,199\,100:1{,}31=40\,610\,000,\quad 40\,610\,000:1{,}31=31\,000\,000. Значит Φ=31 000 000⋅q3\Phi=31\,000\,000\cdot q^3, и подстановка в формулу для SS сразу убирает q3q^3 в знаменателе: S=31 000 000⋅(q2+q+1).S=31\,000\,000\cdot(q^2+q+1).

Шаг 4. Считаем численно. q2=1,312=1,7161,q2+q+1=1,7161+1,31+1=4,0261.q^2=1{,}31^2=1{,}7161,\qquad q^2+q+1=1{,}7161+1{,}31+1=4{,}0261. S=31 000 000⋅4,0261=124 809 100.S=31\,000\,000\cdot4{,}0261=124\,809\,100.

Ответ: 124 809 100 рублей.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток долга каждый год, а не только один раз, и составляют неверное уравнение баланса.
  • Путают порядок операций: считают, что платёж вычитается раньше начисления процентов, из-за чего получают другую формулу.
  • Не проверяют делимость числа Φ\Phi на qq, из-за чего вычисления получаются громоздкими и с ошибками округления.
Непонятно?

Похожие задачи