Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ (в млн руб.) — сумма кредита, а $x=2{,}662$ млн руб. — ежегодный платёж, который вносится равными частями с февраля по июнь, но по сути один раз в год списывается с долга.

Шаг 1. Как растёт долг. Каждый январь долг умножается на 1,1 (рост на 10%), а затем в течение года списывается платёж $x$. Значит, долг на июль каждого года равен:

• после 0-го года: $S$;
• после 1-го года: $1{,}1S-x$;
• после 2-го года: $1{,}1(1{,}1S-x)-x=1{,}1^2S-(1{,}1x+x)$;
• после 3-го года: $1{,}1^3S-(1{,}1^2x+1{,}1x+x)$.

Шаг 2. Условие полного погашения. По условию за три года кредит выплачен полностью, значит долг после третьего года равен нулю: $$1{,}1^3S-(1{,}1^2x+1{,}1x+x)=0.$$

Шаг 3. Выражаем $S$. Сумма в скобках — это геометрическая прогрессия со знаменателем $1{,}1$, три члена, начиная с $1$: $1{,}1^2+1{,}1+1=\dfrac{1{,}1^3-1}{1{,}1-1}$.

Тогда: $$S=\frac{(1{,}1^2+1{,}1+1)x}{1{,}1^3}=\frac{(1{,}1^3-1)x}{1{,}1^3(1{,}1-1)}.$$

Шаг 4. Подставляем числа. $1{,}1^3=1{,}331$, значит $1{,}1^3-1=0{,}331$, а $1{,}1-1=0{,}1$. Переводим в целые числа (умножая числитель и знаменатель на 1000): $$S=\frac{331\cdot 2{,}662}{1331\cdot 0{,}1}=\frac{881{,}122}{133{,}1}=6{,}62 \text{ млн руб.}$$

Ответ. $S=6{,}62$ млн рублей $=6\,620\,000$ рублей.