Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $a=69510$ руб. — сумма кредита, а платежи одинаковы каждый год.

Схема начисления. Каждый январь долг умножается на $1{,}1$ (проценты), а затем в конце года (после платежа) остаток идёт дальше. Если ежегодный платёж равен $x$, то через 3 года долг должен обнулиться: $$\big((1{,}1a-x)\cdot1{,}1-x\big)\cdot1{,}1-x=0.$$

Раскрывая скобки, получаем $$1{,}1^3a-(1{,}1^2+1{,}1+1)x=0 \;\Rightarrow\; 3x\cdot\frac{1{,}1^2+1{,}1+1}{3}=1{,}1^3a,$$ то есть общая сумма всех выплат за 3 года: $$3x=\frac{3\cdot1{,}1^3a}{1+1{,}1+1{,}1^2}=\frac{3{,}993a}{3{,}31}.$$

Аналогично для двух платежей $y$ (за 2 года): $$1{,}1^2a-(1{,}1+1)y=0 \;\Rightarrow\; 2y=\frac{2\cdot1{,}1^2a}{1+1{,}1}=\frac{2{,}42a}{2{,}1}.$$

Подстановка числа. Заметим, что $a=69510$ подобрано так, что $$\frac{a}{3{,}31}=21000,\qquad \frac{a}{2{,}1}=33100.$$

Поэтому $$3x=3{,}993\cdot21000=83853,\qquad 2y=2{,}42\cdot33100=80102.$$

Разность выплат: $$3x-2y=83853-80102=3751 \text{ руб.}$$

Это и есть искомая переплата при погашении за 3 года по сравнению с погашением за 2 года.