Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть S=1 342 000 — сумма кредита, а платёж, вносимый ежегодно с февраля по июнь, равен $x$ (для 4‑летней схемы) или $y$ (для 2‑летней).

Модель долга. Каждый январь остаток долга умножается на 1,2 (рост на 20%), а затем один раз в год вносится фиксированный платёж. Если через год после начала долг был $D_{k-1}$, то после увеличения он становится $1,2\,D_{k-1}$, а после платежа — $1,2\,D_{k-1}-x$. Раскрывая это рекуррентно за $k$ лет, получаем $$D_k=1,2^{k}S-x\left(1,2^{k-1}+1,2^{k-2}+\dots+1\right).$$ К концу срока (через $n$ лет) долг должен обратиться в нуль: $D_n=0$.

Для 4 лет ($n=4$): $$x=\frac{1,2^{4}S\,(1,2-1)}{1,2^{4}-1}=\frac{2,0736\cdot0,2\cdot1\,342\,000}{1,0736}=518\,400\text{ руб.}$$ Общая сумма выплат: $4x=2\,073\,600$ руб.

Для 2 лет ($n=2$): $$y=\frac{1,2^{2}S}{2,2}=\frac{1,44\cdot1\,342\,000}{2,2}=878\,400\text{ руб.}$$ Общая сумма выплат: $2y=1\,756\,800$ руб.

Разница: $2\,073\,600-1\,756\,800=316\,800$ руб. Это на столько больше приходится отдать при погашении за 4 года, чем за 2 года.