ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле планируется взять кредит на сумму 800 800 рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить рекуррентное соотношение для остатка долга после каждого января (умножение на 1,2) и каждого платежа (вычитание фиксированной суммы), потребовать, чтобы после последнего платежа долг стал нулевым, и найти платёж из этого уравнения для 2 и 3 лет, затем сравнить суммарные выплаты.

Пусть S=800800S=800800 — сумма кредита, а долг растёт каждый январь в 1,21{,}2 раза (рост на 20%), после чего с февраля по июнь вносится очередной равный платёж.

Случай 3 платежей. Обозначим платёж xx. По июльским "срезам" долг меняется так: S→1,2S−x→1,2(1,2S−x)−x=1,22S−1,2x−x→1,2(1,22S−1,2x−x)−x=0S \to 1{,}2S-x \to 1{,}2(1{,}2S-x)-x=1{,}2^2S-1{,}2x-x \to 1{,}2(1{,}2^2S-1{,}2x-x)-x=0.

Последнее равенство — долг должен обратиться в ноль после третьего платежа: 1,23S−1,22x−1,2x−x=0.1{,}2^3S-1{,}2^2x-1{,}2x-x=0. Отсюда x(1+1,2+1,22)=1,23Sx(1+1{,}2+1{,}2^2)=1{,}2^3S, то есть x=1,23S(1,2−1)1,23−1=1,23⋅800800⋅0,20,728=380160.x=\frac{1{,}2^3S(1{,}2-1)}{1{,}2^3-1}=\frac{1{,}2^3\cdot800800\cdot0{,}2}{0{,}728}=380160. (Знаменатель 1,23−1=0,7281{,}2^3-1=0{,}728 получен как разность геометрической прогрессии — это позволило упростить сумму в скобках.) За три года всего отдано 3x=11404803x=1140480 руб.

Случай 2 платежей. Аналогично для платежа yy: 1,22S−1,2y−y=0⇒y=1,22S1,2+1=1,22⋅8008002,2=524160.1{,}2^2S-1{,}2y-y=0 \Rightarrow y=\frac{1{,}2^2S}{1{,}2+1}=\frac{1{,}2^2\cdot800800}{2{,}2}=524160. За два года всего отдано 2y=10483202y=1048320 руб.

Разница: 1140480−1048320=921601140480-1048320=92160 рублей — именно столько лишних денег придётся отдать при трёхлетней схеме по сравнению с двухлетней.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются в январе на весь остаток долга, а платёж вносится позже — путают порядок операций.
  • Неверно составляют уравнение для последнего года: забывают, что после последнего платежа долг должен быть равен нулю.
  • Считают итоговую сумму выплат как один платёж, а не как n×n\times платёж (забывают умножить на количество лет).
Непонятно?

Похожие задачи