Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=545000$ — сумма кредита, $k=1+\frac{40}{100}=1{,}4$ — коэффициент годового увеличения долга, $x$ — размер каждого из трёх равных платежей.

Шаг 1. После первого января долг вырастает на 40%: становится $Sk$. После платежа в размере $x$ остаток долга — $Sk-x$.

Шаг 2. На второй год этот остаток снова увеличивается в $k$ раз и уменьшается на платёж: $(Sk-x)k-x=Sk^2-kx-x$.

Шаг 3. На третий год долг снова растёт в $k$ раз и полностью погашается платежом $x$, значит после этого остаток равен нулю: $$(Sk^2-kx-x)k-x=0.$$ Раскрыв скобки, получаем $$Sk^3-k^2x-kx-x=0.$$

Почему так: каждый год к оставшемуся долгу применяется один и тот же коэффициент роста $k$, а затем вычитается платёж — так строится схема выплаты долга при равных платежах.

Шаг 4. Выразим $x$: $$x=\frac{Sk^3}{k^2+k+1}.$$

Подставим числа: $k^2=1{,}96,\ k^3=2{,}744$, сумма в знаменателе $1{,}96+1{,}4+1=4{,}36$. $$x=\frac{545000\cdot2{,}744}{4{,}36}=343000.$$

Шаг 5. Общая сумма выплат банку за три года — это три одинаковых платежа: $$3x=3\cdot343000=1\,029\,000.$$