Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита $S=419375$, ежегодный платёж $x$, а коэффициент увеличения долга за счёт 20% — $k=1+\dfrac{20}{100}=1{,}2=\dfrac{6}{5}$.

По условию каждый январь долг умножается на $k$, а затем (с февраля по июнь) вычитается платёж $x$. Так происходит четыре раза, и после четвёртого платежа долг должен стать равным нулю: $$\Big(\big((Sk-x)k-x\big)k-x\Big)k-x=0.$$

Раскроем скобки — это просто последовательное умножение остатка долга на $k$ и вычитание платежа: $$Sk^4-xk^3-xk^2-xk-x=0.$$

Отсюда выражаем платёж: $$x=\dfrac{Sk^4}{k^3+k^2+k+1}.$$

Подставим $k=\dfrac65$: $$k^3=\dfrac{216}{125},\quad k^2=\dfrac{36}{25},\quad k=\dfrac65,\quad k^4=\dfrac{1296}{625}.$$

Сумма знаменателя (приводим к 125): $$\dfrac{216}{125}+\dfrac{180}{125}+\dfrac{150}{125}+\dfrac{125}{125}=\dfrac{671}{125}.$$

Тогда $$x=\dfrac{419375\cdot \dfrac{1296}{625}}{\dfrac{671}{125}}=\dfrac{419375\cdot 1296}{625}\cdot\dfrac{125}{671}=\dfrac{419375\cdot 1296}{5\cdot 671}.$$

Замечаем, что $671\cdot 625=419375$, то есть $\dfrac{419375}{671}=625$. Подставляя: $$x=\dfrac{625\cdot1296}{5}=125\cdot1296=162000.$$

Так как платежей четыре и все они равны, общая сумма, выплаченная банку, равна $$4\cdot 162000=648000\text{ руб.}$$