Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть коэффициент увеличения долга за месяц $k=1+\dfrac{r}{100}$ (r — целое число процентов). По условию каждый месяц с 15-го по 1-е число долг умножается на $k$, а затем со 2-го по 14-е число выплачивается часть долга так, чтобы к следующему 15-му числу остаток стал равен значению из таблицы.

Запишем долг на 1-е число каждого месяца (после начисления процентов) и выплату (разность между долгом на 1-е число и требуемым остатком на 15-е число):

Февраль: долг $k$, выплата $k-0{,}6$; Март: долг $0{,}6k$, выплата $0{,}6k-0{,}4$; Апрель: долг $0{,}4k$, выплата $0{,}4k-0{,}3$; Май: долг $0{,}3k$, выплата $0{,}3k-0{,}2$; Июнь: долг $0{,}2k$, выплата $0{,}2k-0{,}1$; Июль: долг $0{,}1k$, выплата $0{,}1k$ (долг полностью гасится).

Общая сумма всех выплат — это сумма шести таких разностей: $$(k-0{,}6)+(0{,}6k-0{,}4)+(0{,}4k-0{,}3)+(0{,}3k-0{,}2)+(0{,}2k-0{,}1)+0{,}1k.$$

Сгруппируем отдельно слагаемые с $k$ и свободные члены: $$k(1+0{,}6+0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1)-(0{,}6+0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1)=2{,}6k-1{,}6.$$

Это и есть общая сумма выплат за все 6 месяцев. По условию она должна быть меньше 1,2 млн рублей: $$2{,}6k-1{,}6<1{,}2 \;\Rightarrow\; 2{,}6k<2{,}8 \;\Rightarrow\; k<\dfrac{14}{13}.$$

Возвращаемся к $r$: подставляем $k=1+\dfrac{r}{100}$: $$1+\dfrac{r}{100}<\dfrac{14}{13}\;\Rightarrow\;\dfrac{r}{100}<\dfrac{1}{13}\;\Rightarrow\; r<\dfrac{100}{13}\approx 7{,}69.$$

Так как $r$ — целое число, наибольшее возможное значение, удовлетворяющее строгому неравенству, — $r=7$.