Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $K=1$ млн руб. — сумма кредита. По условию долг на 15‑е число каждого месяца задан таблицей: $1;\,0{,}9;\,0{,}8;\,0{,}7;\,0{,}6;\,0{,}5;\,0$ (в млн руб.).

Как считаются выплаты. 1‑го числа долг увеличивается на $r\%$, то есть к сумме прибавляется проценты за месяц — $0{,}01r\cdot D$, где $D$ — долг на начало месяца (на предыдущее 15‑е число). Затем до 14‑го числа Евгений выплачивает часть долга так, чтобы к следующему 15‑му числу остаток совпал с таблицей. Значит, каждая выплата состоит из двух частей: погашение основного долга (разность соседних значений таблицы) и «переплата» — проценты за месяц.

Переплаты. Проценты по месяцам: $$p_1=0{,}01Kr,\; p_2=0{,}009Kr,\;\dots,\;p_6=0{,}005Kr,$$ так как долг перед начислением процентов равен $K;0{,}9K;\dots;0{,}5K$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом $p_1=0{,}01Kr$ и последним $p_6=0{,}005Kr$.

Сумма переплат. По формуле суммы арифметической прогрессии: $$S_6=\dfrac{p_1+p_6}{2}\cdot 6=\dfrac{0{,}01Kr+0{,}005Kr}{2}\cdot6=0{,}045Kr.$$

Итоговые выплаты. Все выплаты по основному долгу в сумме дают $K$ (весь кредит гасится), значит общая сумма выплат равна $K+0{,}045Kr$. Условие «более $1{,}25$ млн» даёт неравенство: $$K+0{,}045Kr>1{,}25K \;\Rightarrow\; 0{,}045r>0{,}25 \;\Rightarrow\; r>\dfrac{250}{45}=\dfrac{50}{9}=5\tfrac{5}{9}.$$

Поскольку $r$ — целое число процентов, наименьшее подходящее значение — $r=6$.