Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим коэффициент увеличения долга за месяц через $k=1+\dfrac{r}{100}$ — именно на этот множитель умножается остаток долга 1-го числа каждого месяца.

По графику долг на 15-е число каждого месяца известен: 1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0. Перед выплатой долг вырастает в $k$ раз, поэтому выплата в каждом месяце равна "долг на 15-е прошлого месяца умноженный на k" минус "долг на 15-е текущего месяца":

• Февраль: $k-0{,}6$
• Март: $0{,}6k-0{,}4$
• Апрель: $0{,}4k-0{,}3$
• Май: $0{,}3k-0{,}2$
• Июнь: $0{,}2k-0{,}1$
• Июль: $0{,}1k-0=0{,}1k$

Складывая все выплаты, коэффициенты при $k$ суммируются ($1+0{,}6+0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1=2{,}6$), а свободные слагаемые дают $-(0{,}6+0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1)=-1{,}6$. Получаем сумму всех выплат: $$S=2{,}6k-1{,}6.$$

По условию требуется $S<1{,}25$: $$2{,}6k-1{,}6<1{,}25 \;\Rightarrow\; 2{,}6k<2{,}85 \;\Rightarrow\; k<\dfrac{28{,}5}{26}=1+\dfrac{5}{52}.$$

Подставляя $k=1+\dfrac{r}{100}$: $$1+\dfrac{r}{100}<1+\dfrac{5}{52} \;\Rightarrow\; \dfrac{r}{100}<\dfrac{5}{52} \;\Rightarrow\; r<\dfrac{500}{52}=9\dfrac{32}{52}\approx 9{,}615.$$

Поскольку $r$ — целое число, наибольшее значение, удовлетворяющее строгому неравенству, это $r=9$.