ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

Месяц и годИюль 2020Июль 2021Июль 2022Июль 2023Июль 2024
Долг

(в млн рублей)

S0,8S0,6S0,4S0

 

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно пересчитать долг по годам (умножение на 1,25 в январе и снижение до заданной доли к июлю), выразить каждую годовую выплату через S, просуммировать и решить неравенство на сумму выплат.

Пусть кредит равен SS млн рублей, взят в июле 2020 года.

В январе каждого года долг, оставшийся с предыдущего июля, увеличивается на 25%, то есть умножается на 1,251,25. Затем с февраля по июнь часть долга гасится так, чтобы к июлю долг стал равен значению из таблицы.

2020→2021. После июля 2020 долг SS. В январе 2021: 1,25S1,25S. К июлю 2021 долг должен стать 0,8S0,8S, значит выплата равна 1,25S−0,8S=0,45S.1,25S-0,8S=0,45S.

2021→2022. В январе 2022 долг: 1,25⋅0,8S=S1,25\cdot0,8S=S. К июлю 2022 нужно 0,6S0,6S, выплата: S−0,6S=0,4S.S-0,6S=0,4S.

2022→2023. В январе 2023: 1,25⋅0,6S=0,75S1,25\cdot0,6S=0,75S. К июлю 2023 нужно 0,4S0,4S, выплата: 0,75S−0,4S=0,35S.0,75S-0,4S=0,35S.

2023→2024. В январе 2024: 1,25⋅0,4S=0,5S1,25\cdot0,4S=0,5S. К июлю 2024 долг должен стать 00, выплата: 0,5S−0=0,5S.0,5S-0=0,5S.

Эти суммы — это то, что реально платится банку (проценты, начисленные в январе, включаются в выплату). Общая сумма всех выплат: 0,45S+0,4S+0,35S+0,5S=1,7S.0,45S+0,4S+0,35S+0,5S=1,7S.

По условию сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей: 1,7S<50  ⇒  S<50017=29717≈29,41.1,7S<50 \;\Rightarrow\; S<\frac{500}{17}=29\frac{7}{17}\approx29,41.

Так как SS — целое число, наибольшее возможное значение: S=29.S=29.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются именно в январе, и умножают весь долг на 1,25 не в тот момент цепочки расчётов
  • Складывают только доли долга из таблицы, а не реальные выплаты (разницу между долгом после начисления процентов и долгом в июле)
  • Не учитывают целочисленность S и округляют неправильно (например, до 29,41 вместо взятия наибольшего целого меньше этого числа)
Непонятно?

Похожие задачи