ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

Месяц и годИюль 2026Июль 2027Июль 2028Июль 2029
Долг
(в млн рублей)

S0,8S0,4S0

 

Найдите наибольшее S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Нужно последовательно посчитать долг после начисления 20% в январе каждого года и вычесть требуемый по таблице остаток в июле — так найти все три выплаты, затем найти наибольшую из них (она растёт пропорционально S) и решить неравенство «наибольшая выплата <5» относительно целого S.

Обозначим кредит S млн руб., взятый в июле 2026 года.

Шаг 1. Проценты в январе. Каждый январь долг, оставшийся с прошлого июля, увеличивается на 20%, то есть умножается на 1,2.

Шаг 2. Выплата в течение года. Затем с февраля по июнь одним платежом гасится часть долга так, чтобы к июлю долг стал равен указанному в таблице значению. Значит, выплата за год равна (долг после начисления процентов в январе) минус (требуемый долг в июле).

2027 год: долг в январе =S⋅1,2=1,2S=S\cdot 1{,}2=1{,}2S. К июлю долг должен стать 0,8S0{,}8S. Тогда выплата: 1,2S−0,8S=0,4S1{,}2S-0{,}8S=0{,}4S.

2028 год: долг в январе =0,8S⋅1,2=0,96S=0{,}8S\cdot 1{,}2=0{,}96S. К июлю долг должен стать 0,4S0{,}4S. Выплата: 0,96S−0,4S=0,56S0{,}96S-0{,}4S=0{,}56S.

2029 год: долг в январе =0,4S⋅1,2=0,48S=0{,}4S\cdot 1{,}2=0{,}48S. К июлю долг должен стать 00. Выплата: 0,48S−0=0,48S0{,}48S-0=0{,}48S.

Шаг 3. Сравнение выплат. Получили три выплаты: 0,4S0{,}4S, 0,56S0{,}56S, 0,48S0{,}48S. Наибольшая из них — 0,56S0{,}56S (коэффициент максимален).

Шаг 4. Условие задачи. Нужно, чтобы каждая выплата была меньше 5 млн руб. Так как все выплаты растут пропорционально S, достаточно потребовать, чтобы наибольшая из них была меньше 5: 0,56S<5  ⟺  56S<500  ⟺  S<50056=12514=81314.0{,}56S<5 \iff 56S<500 \iff S<\dfrac{500}{56}=\dfrac{125}{14}=8\dfrac{13}{14}.

Шаг 5. Целое решение. Так как S — целое число, наибольшее значение, удовлетворяющее неравенству S<81314S<8\dfrac{13}{14}, равно S=8S=8.

Проверка: при S=8S=8 наибольшая выплата 0,56⋅8=4,48<50{,}56\cdot 8=4{,}48<5 — условие выполняется.

Типичные ошибки

  • Забывают начислить 20% на долг перед вычислением выплаты, вычитая напрямую значения из таблицы без учета процентов.
  • Ошибочно берут за 'наибольшую выплату' последний год (2029), не сравнивая коэффициенты 0,4S, 0,56S и 0,48S.
  • Округляют дробь 125/14 в большую сторону, получая неверный ответ S=9 вместо 8.
Непонятно?

Похожие задачи