ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

Месяц и годИюль 2022Июль 2023Июль 2024Июль 2025Июль 2026
Долг (в млн рублей)S0,7S0,4S0,2S0

 

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 3 млн рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Найти выплату за каждый год как разницу между долгом после январского увеличения на 15% и долгом, заданным в таблице на июль; затем найти наибольшее целое S, при котором все четыре выплаты меньше 3 млн.

Каждый год долг сначала увеличивается на 15% (в январе), а затем к июлю уменьшается до значения, указанного в таблице. Разница между январским и июльским значением долга — это сумма, которую нужно выплатить за год.

2023 год. В июле 2022 долг равен SS. В январе 2023 он вырастет до 1,15S1{,}15S. К июлю 2023 он должен стать 0,7S0{,}7S. Значит, выплата равна 1,15S−0,7S=0,45S1{,}15S-0{,}7S=0{,}45S.

2024 год. В июле 2023 долг 0,7S0{,}7S, в январе 2024 — 1,15⋅0,7S=0,805S1{,}15\cdot 0{,}7S=0{,}805S, к июлю 2024 нужно 0,4S0{,}4S. Выплата: 0,805S−0,4S=0,405S0{,}805S-0{,}4S=0{,}405S.

2025 год. В июле 2024 долг 0,4S0{,}4S, в январе 2025 — 1,15⋅0,4S=0,46S1{,}15\cdot 0{,}4S=0{,}46S, к июлю 2025 нужно 0,2S0{,}2S. Выплата: 0,46S−0,2S=0,26S0{,}46S-0{,}2S=0{,}26S.

2026 год. В июле 2025 долг 0,2S0{,}2S, в январе 2026 — 1,15⋅0,2S=0,23S1{,}15\cdot 0{,}2S=0{,}23S, к июлю 2026 долг должен стать 00. Выплата: 0,23S0{,}23S.

По условию каждая из четырёх выплат должна быть меньше 3 млн рублей, поэтому нужно решить систему: 0,45S<3,0,405S<3,0,26S<3,0,23S<3.0{,}45S<3,\quad 0{,}405S<3,\quad 0{,}26S<3,\quad 0{,}23S<3.

Самое сильное ограничение даёт первое неравенство (наибольший коэффициент при SS): 0,45S<3⇒S<203≈6,670{,}45S<3 \Rightarrow S<\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67. Остальные неравенства при этом выполняются автоматически, так как их коэффициенты меньше.

Поскольку SS — целое число, наибольшее подходящее значение — S=6S=6.

Типичные ошибки

  • Забывают, что процент начисляется именно на долг после предыдущего июля, а не на исходную сумму кредита S.
  • Проверяют только одно из четырёх неравенств, а не берут самое строгое ограничение среди всех выплат.
  • Округляют S в большую сторону вместо выбора наибольшего целого, удовлетворяющего строгому неравенству.
Непонятно?

Похожие задачи