Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим коэффициент увеличения долга за месяц через $k=1+\dfrac{r}{100}$ (долг растёт на $r\%$, значит умножается на $k$).

В каждом месяце долг сначала увеличивается в $k$ раз, а затем часть его выплачивается так, чтобы к 15‑му числу остаться нужной сумме из таблицы. Значит выплата за месяц равна разности между увеличенным долгом и требуемым остатком: $$S_1=1{,}5k-1{,}2,\quad S_2=1{,}2k-1,\quad S_3=1k-0{,}7,$$ $$S_4=0{,}7k-0{,}5,\quad S_5=0{,}5k-0{,}3,\quad S_6=0{,}3k.$$

Эти формулы получаются прямо из условия: долг перед выплатой — это остаток за предыдущий месяц, умноженный на $k$, а после выплаты должен стать равным значению из таблицы.

Сложим все выплаты, чтобы получить общую сумму, которую отдаёт Алексей за весь срок кредита: $$S=S_1+S_2+\dots+S_6=(1{,}5+1{,}2+1+0{,}7+0{,}5+0{,}3)k-(1{,}2+1+0{,}7+0{,}5+0{,}3)=5{,}2k-3{,}7.$$

По условию нужно, чтобы общая сумма выплат превысила 2,2 млн рублей: $$5{,}2k-3{,}7>2{,}2.$$

Подставим $k=1+\dfrac{r}{100}$: $$5{,}2\left(1+\dfrac{r}{100}\right)-3{,}7>2{,}2\ \Rightarrow\ 5{,}2+\dfrac{5{,}2r}{100}-3{,}7>2{,}2\ \Rightarrow\ \dfrac{5{,}2r}{100}>0{,}7.$$

Отсюда $$r>\dfrac{0{,}7\cdot100}{5{,}2}=\dfrac{70}{5{,}2}=\dfrac{175}{13}\approx13{,}46.$$

Поскольку $r$ — целое число, наименьшее подходящее значение — $r=14$.