ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на восемь лет в размере 400 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на q% по сравнению с концом предыдущего года;

—  каждый январь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года  —  к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью. Найдите q и r, если известно, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Построить таблицу долга по годам, зная равномерное уменьшение долга в июле, выразить сумму выплат за два периода через неизвестные коэффициенты роста m и n, и решить систему уравнений по условиям задачи.

Долг равномерно уменьшается в июле каждого года на 400/8=50400/8=50 тыс. руб., так что в июле 2026–2033 годов долг равен 350,300,250,200,150,100,50,0350,300,250,200,150,100,50,0 тыс. руб.

Пусть m=1+q100m=1+\dfrac{q}{100}, n=1+r100n=1+\dfrac{r}{100} — коэффициенты роста долга в первые и последние четыре года.

В январе долг умножается на mm (2026–2029) или на nn (2030–2033), а выплата за год равна разности январского долга и июльского значения из таблицы:

S2026−2029=(400m−350)+(350m−300)+(300m−250)+(250m−200)=1300m−1100S_{2026-2029}=(400m-350)+(350m-300)+(300m-250)+(250m-200)=1300m-1100

S2030−2033=(200n−150)+(150n−100)+(100n−50)+(50n−0)=500n−300S_{2030-2033}=(200n-150)+(150n-100)+(100n-50)+(50n-0)=500n-300

По условию сумма всех выплат равна 650, а разница выплат за первые и последние четыре года — 140:

1300m−1100+500n−300=6501300m-1100+500n-300=650

1300m−1100−(500n−300)=1401300m-1100-(500n-300)=140

Из первого: 1300m+500n=20501300m+500n=2050. Из второго: 1300m−500n=9401300m-500n=940.

Складывая уравнения: 2600m=2990⇒m=1,152600m=2990 \Rightarrow m=1{,}15.

Вычитая: 1000n=1110⇒n=1,111000n=1110 \Rightarrow n=1{,}11.

Так как m=1+q100=1,15m=1+\dfrac{q}{100}=1{,}15, получаем q=15q=15; аналогично n=1+r100=1,11n=1+\dfrac{r}{100}=1{,}11 даёт r=11r=11.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что долг убывает не равномерно, а по какому-то другому закону, из-за чего неверно строится таблица
  • Путаница в знаках при составлении второго уравнения (разница сумм выплат) — перепутать, какая сумма больше
  • Не перевести коэффициенты m и n обратно в проценты q и r, оставив ответ в виде десятичных дробей
Непонятно?

Похожие задачи