Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=1400$ — сумма кредита, $k=0{,}1$ — годовая ставка. Пусть каждый июль 2026–2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму $x$, а в 2031–2035 — на одну и ту же сумму $y$.

Тогда долг по июлям: $S,\;S-x,\;S-2x,\;\dots,\;S-5x,\;S-5x-y,\;\dots,\;S-5x-5y=0$. Из последнего равенства $5x+5y=S=1400$, т.е. $x+y=280$.

В январе каждого года долг увеличивается на 10%, поэтому в июле начисленные проценты равны $k$, умноженному на долг предыдущего июля. Платёж за год = начисленные проценты + сумма, на которую уменьшили долг в этом году. Значит выплаты по годам: $kS+x,\;k(S-x)+x,\;\dots,\;k(S-4x)+x$ (2026–2030, 5 членов арифметической прогрессии), $k(S-5x)+y,\;\dots,\;k(S-5x-4y)+y$ (2031–2035, тоже 5 членов).

Сумма арифметической прогрессии равна $\dfrac{(a_1+a_5)}{2}\cdot 5$. Складывая обе суммы и подставляя $k=0{,}1$, получаем: $$10kS-35kx-10ky+5x+5y=2120.$$ Так как $kS=140$, а $10kS=1400$: $$1400+5x-3{,}5x+5y-y=2120 \;\Rightarrow\; 1{,}5x+4y=720.$$ Подставляя $y=280-x$: $$1{,}5x+4(280-x)=720 \;\Rightarrow\; -2{,}5x=-400 \;\Rightarrow\; x=160.$$

Платёж в 2026 году — это проценты за первый год плюс уменьшение долга $x$: $$kS+x=140+160=300\text{ тыс. руб.}$$