Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим долг на июль каждого года: 2028 — 40 млн, а дальше по условию каждый год он уменьшается на 25%, то есть становится равным 75% от прошлогоднего: 2029 — $40\cdot0{,}75=30$, 2030 — $30\cdot0{,}75=22{,}5$, 2031 — $22{,}5\cdot0{,}75=16{,}875$, а к июлю 2032 долг должен стать нулевым.

В январе каждого года долг сначала увеличивается на $r\%$, то есть умножается на $\left(1+\frac{r}{100}\right)$, а затем с февраля по июнь часть его гасят так, чтобы к июлю он стал равен нужному значению (75% от прошлогоднего или 0). Значит, выплата за год — это разница между долгом после начисления процентов и долгом на июль текущего года: $$\text{Выплата}=D_{\text{нач}}\left(1+\frac{r}{100}\right)-D_{\text{июль}}.$$

Считаем выплаты по годам (доля долга на начало года берётся из предыдущего июля):

• 2029: $40\left(1+\frac{r}{100}\right)-30=10+40\cdot\frac{r}{100}$
• 2030: $30\left(1+\frac{r}{100}\right)-22{,}5=7{,}5+30\cdot\frac{r}{100}$
• 2031: $22{,}5\left(1+\frac{r}{100}\right)-16{,}875=5{,}625+22{,}5\cdot\frac{r}{100}$
• 2032: $16{,}875\left(1+\frac{r}{100}\right)-0=16{,}875+16{,}875\cdot\frac{r}{100}$

Сумма всех выплат равна 61,875 млн — это общая переплата за весь срок. Складываем постоянные части: $10+7{,}5+5{,}625+16{,}875=40$, а коэффициент при $\frac{r}{100}$: $40+30+22{,}5+16{,}875=109{,}375$. Получаем уравнение: $$40+109{,}375\cdot\frac{r}{100}=61{,}875.$$

Отсюда $109{,}375\cdot\frac{r}{100}=21{,}875$, значит $\frac{r}{100}=0{,}2$, то есть $r=20$.