ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Дифференцированная схема означает равные ежегодные погашения основного долга (по 100 тыс. руб.), поэтому проценты, начисляемые на убывающий остаток долга, образуют арифметические прогрессии, суммы которых легко вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии.

Кредит гасится по дифференцированной схеме: тело долга (800 тыс. руб.) равномерно распределено на 8 лет, значит каждый год долг уменьшается на 800/8=100800/8=100 тыс. руб. Тогда долг, числящийся на июль перед началом каждого платёжного года, образует убывающую последовательность: 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, 100 (тыс. руб.) — перед 1‑м, 2‑м, …, 8‑м годом соответственно.

В январе каждого года на текущий остаток долга начисляются проценты. Для первых четырёх лет (2024–2027) ставка r%r\%, поэтому проценты равны 0,01r⋅800, 0,01r⋅700, 0,01r⋅600, 0,01r⋅5000{,}01r\cdot800,\ 0{,}01r\cdot700,\ 0{,}01r\cdot600,\ 0{,}01r\cdot500 — это арифметическая прогрессия с шагом −100⋅0,01r-100\cdot0{,}01r. Сумма этих четырёх платежей по формуле суммы арифметической прогрессии: S1=800⋅0,01r+500⋅0,01r2⋅4=13r⋅2=26r (тыс. руб.)S_1=\frac{800\cdot0{,}01r+500\cdot0{,}01r}{2}\cdot4=13r\cdot2=26r\ (\text{тыс. руб.})

Для последних четырёх лет (2028–2031) ставка 15%, остатки долга — 400, 300, 200, 100: S2=0,15⋅400+0,15⋅1002⋅4=(60+15)⋅2=150 (тыс. руб.)S_2=\frac{0{,}15\cdot400+0{,}15\cdot100}{2}\cdot4=(60+15)\cdot2=150\ (\text{тыс. руб.})

Общая сумма выплат складывается из возвращённого основного долга (800 тыс. руб.) и всех процентных начислений: 26r+150+800=144426r+150+800=1444

Решаем уравнение: 26r=1444−950=49426r=1444-950=494 r=49426=19r=\frac{494}{26}=19

Почему так: проценты начисляются именно на остаток долга перед соответствующим годом, а равномерное уменьшение долга — признак дифференцированной схемы, что и задаёт арифметические прогрессии для процентов.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считают проценты от неизменной суммы 800 тыс. руб. каждый год, а не от убывающего остатка долга.
  • Путают периоды действия разных процентных ставок (r% и 15%) и применяют одну ставку ко всем 8 годам.
  • Не учитывают, что общая сумма выплат включает не только проценты, но и сумму возврата основного долга (800 тыс. руб.).
Непонятно?

Похожие задачи