Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Шаг 1. Вводим неизвестное. Пусть $S$ — сумма кредита в тысячах рублей. По условию долг за 10 лет (с июля 2023 по июль 2033) уменьшается равными частями, значит каждый год тело долга снижается на $\dfrac{S}{10}$ тысяч рублей.

Шаг 2. Понимаем структуру выплат. Каждый год сначала (в январе) на остаток долга начисляются проценты (18% на 2024–2028 гг., 16% на 2029–2033 гг.), а затем в течение года выплачивается сумма, равная начисленным процентам плюс $\dfrac{S}{10}$ — та часть, на которую должен уменьшиться долг. Остаток долга к июлю года $k$ составляет $\dfrac{(10-k)S}{10}$, где $k$ — номер года по счёту (1,2,...,10).

Шаг 3. Считаем проценты по годам. Для 2024–2028 годов проценты начисляются на остатки $S,\ \dfrac{9S}{10},\ \dfrac{8S}{10},\ \dfrac{7S}{10},\ \dfrac{6S}{10}$, то есть сумма процентов равна $0{,}18S\left(1+\dfrac{9}{10}+\dfrac{8}{10}+\dfrac{7}{10}+\dfrac{6}{10}\right)=0{,}18S\cdot\dfrac{16}{10}\cdot\dfrac{5}{2}$.

Для 2029–2033 годов проценты начисляются на остатки $\dfrac{5S}{10},\dfrac{4S}{10},\dfrac{3S}{10},\dfrac{2S}{10},\dfrac{S}{10}$, сумма процентов равна $0{,}16S\left(\dfrac{5}{10}+\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{1}{10}\right)=0{,}16S\cdot\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{2}$.

Почему так: сумма арифметической прогрессии остатков считается как (первый+последний)·количество/2.

Шаг 4. Складываем всё. Общая сумма выплат — это сумма кредита $S$ (тело долга) плюс все проценты: $$S+0{,}18S\cdot 1{,}6\cdot 2{,}5+0{,}16S\cdot 0{,}6\cdot 2{,}5=S+0{,}72S+0{,}24S=1{,}96S.$$

Шаг 5. Решаем уравнение. По условию сумма выплат равна 1470 тыс. руб.: $$1{,}96S=1470 \Rightarrow S=\dfrac{1470}{1{,}96}=750.$$

Получаем сумму кредита 750 тысяч рублей.