ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  —  целое число);

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Каждая выплата = проценты на остаток долга + плановое уменьшение основного долга; проценты по годам образуют арифметическую прогрессию, поэтому сумма всех выплат сводится к сумме двух прогрессий, из чего находится ставка rr.

  1. Пусть S=800S=800 тыс.руб. — сумма кредита, xx — величина, на которую уменьшается долг каждый июль 2026–2030, yy — с 2031 по 2035. Тогда долг в июле по годам: S,  S−x,  S−2x,  S−3x,  S−4x,  S−5x,  S−5x−y,…,  S−5x−5yS,\;S-x,\;S-2x,\;S-3x,\;S-4x,\;S-5x,\;S-5x-y,\dots,\;S-5x-5y.

  2. По условию S−5x=200S-5x=200, значит x=120x=120. Также S−5x−5y=0⇒200−5y=0⇒y=40S-5x-5y=0\Rightarrow 200-5y=0\Rightarrow y=40.

  3. Пусть k=r100k=\dfrac{r}{100} — доля начисленных за январь процентов. В каждом году выплата состоит из процентов на долг, оставшийся с предыдущего июля, плюс сумма, на которую в этом году уменьшается основной долг. Для 2026–2030 гг. проценты начисляются на S, S−x,…,S−4xS,\,S-x,\dots,S-4x и добавляется xx; для 2031–2035 гг. — на S−5x,…,S−5x−4yS-5x,\dots,S-5x-4y и добавляется yy.

  4. Каждая из этих пятёрок — арифметическая прогрессия, поэтому сумма процентов за 5 лет равна 5k⋅a1+a525k\cdot\dfrac{a_1+a_5}{2}. Для первой группы: 5k⋅S+(S−4x)2=5k⋅800+3202=2800k5k\cdot\dfrac{S+(S-4x)}{2}=5k\cdot\dfrac{800+320}{2}=2800k, плюс 5x=6005x=600. Для второй: 5k⋅(S−5x)+(S−5x−4y)2=5k⋅200+402=600k5k\cdot\dfrac{(S-5x)+(S-5x-4y)}{2}=5k\cdot\dfrac{200+40}{2}=600k, плюс 5y=2005y=200.

  5. Общая сумма выплат: 2800k+600+600k+200=14802800k+600+600k+200=1480, то есть 3400k+800=14803400k+800=1480, откуда 3400k=6803400k=680, k=0,2k=0{,}2.

  6. Значит r=100k=20r=100k=20.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют, на какую сумму долга начисляются проценты (берут долг после уменьшения, а не долг с предыдущего июля).
  • Забывают, что уменьшение долга (xx и yy) тоже входит в сумму выплат, учитывают только проценты.
  • Ошибки при вычислении суммы арифметической прогрессии (неправильный подсчёт среднего первого и последнего членов или количества членов).
Непонятно?

Похожие задачи