ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-⁠то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1970 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Ввести неизвестный долг в июле 2030 года как 5S5S, выразить через него все промежуточные долги (используя равные шаги убыли в двух пятилетках) и суммы выплат как арифметические прогрессии, затем найти SS из уравнения общей суммы выплат.

Пусть долг в июле 2030 года равен 5S5S тыс. руб. По условию за первые пять лет (2026–2030) долг снижается каждый год на одну и ту же величину, значит это арифметическая убыль с шагом 800−5S5=160−S\frac{800-5S}{5}=160-S тыс. руб. За вторые пять лет (2031–2035) шаг уменьшения — SS тыс. руб., так как к 2035 году долг должен стать нулевым, а от 5S5S до 00 за пять равных шагов каждый шаг равен SS.

Отсюда долги по июлям: 2025 — 800; 2026 — 640+S640+S; 2027 — 480+2S480+2S; 2028 — 320+3S320+3S; 2029 — 160+4S160+4S; 2030 — 5S5S; 2031 — 4S4S; 2032 — 3S3S; 2033 — 2S2S; 2034 — SS; 2035 — 00.

В январе долг увеличивается на 30%, то есть умножается на 1,31{,}3, а летняя выплата — это разница между этим увеличенным долгом и долгом на июль текущего года: Bk=1,3⋅Dk−1−DkB_k = 1{,}3\cdot D_{k-1} - D_k.

Выплаты 2026–2030 образуют арифметическую прогрессию, их сумма по формуле (a1+a5)2⋅5\frac{(a_1+a_5)}{2}\cdot 5 равна: 1,3⋅800−(640+S)+1,3(160+4S)−5S2⋅5=1520−2S.\frac{1{,}3\cdot800-(640+S)+1{,}3(160+4S)-5S}{2}\cdot5=1520-2S.

Выплаты 2031–2035 также образуют прогрессию, их сумма: 1,3⋅5S−4S+1,3S2⋅5=9,5S.\frac{1{,}3\cdot5S-4S+1{,}3S}{2}\cdot5=9{,}5S.

Общая сумма выплат равна 1970 тыс. руб.: 1520−2S+9,5S=1970⇒7,5S=450⇒5S=300.1520-2S+9{,}5S=1970 \Rightarrow 7{,}5S=450 \Rightarrow 5S=300.

Значит, долг в июле 2030 года составляет 300 тыс. руб., то есть 300 000 руб.

Типичные ошибки

  • Неверно распределяют разницу долга по годам, забывая, что убыль постоянна только внутри каждой пятилетки, а не за весь период.
  • Ошибочно считают выплату как просто разницу долгов без учёта начисления 30% процентов в январе.
  • Складывают суммы выплат без применения формулы арифметической прогрессии, что приводит к ошибкам в вычислениях.
Непонятно?

Похожие задачи