Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Шаг 1. Вводим переменную и находим шаг снижения долга. Пусть $S$ — сумма кредита (в тыс. руб.). По условию долг на июль каждого года из первых пяти лет (2026–2030) уменьшается на одну и ту же величину, а к июлю 2030 года он равен 800. Значит за 5 лет долг снизился с $S$ до 800, и годовое снижение равно $\dfrac{S-800}{5}$. Во второй пятилетке (2031–2035) долг снижается равномерно с 800 до 0 за 5 лет, то есть шаг снижения — 160 тыс. руб. в год (это указано и в самом условии).

Шаг 2. Составляем ряд значений долга на июль каждого года. $$2025:\;S,\quad 2026:\;800+4\cdot\tfrac{S-800}{5},\quad 2027:\;800+3\cdot\tfrac{S-800}{5},$$ $$2028:\;800+2\cdot\tfrac{S-800}{5},\quad 2029:\;800+\tfrac{S-800}{5},\quad 2030:\;800,$$ $$2031:640,\;2032:480,\;2033:320,\;2034:160,\;2035:0.$$

Шаг 3. Понимаем структуру выплаты. Каждый январь долг увеличивается на 10% (начисляются проценты на долг прошлого июля), а с февраля по июнь выплачивается сумма, гасящая и «тело» (снижение долга), и эти проценты. Поэтому: $$\text{выплата года}=\text{уменьшение долга}+0,1\cdot(\text{долг на июль предыдущего года}).$$

Шаг 4. Складываем все выплаты. Сумма всех «уменьшений долга» за 10 лет — это телескопическая сумма, которая равна начальному долгу минус конечный: $S-0=S$. Остаётся сложить проценты по годам: $$0,1S+0,1\Big(800+4\cdot\tfrac{S-800}{5}\Big)+0,1\Big(800+3\cdot\tfrac{S-800}{5}\Big)+0,1\Big(800+2\cdot\tfrac{S-800}{5}\Big)+0,1\Big(800+\tfrac{S-800}{5}\Big)+80+64+48+32+16.$$ Сгруппируем слагаемые с $800$ и с $\tfrac{S-800}{5}$: $$0,1\Big[S+800\cdot4+\tfrac{S-800}{5}\cdot(4+3+2+1)\Big]+240=0,1\big[S+3200+2(S-800)\big]+240.$$ Раскрываем скобки: $S+3200+2S-1600=3S+1600$, значит сумма процентов равна $$0,1(3S+1600)+240=0,3S+160+240=0,3S+400.$$

Шаг 5. Составляем уравнение. Общая сумма выплат равна сумме кредита плюс сумма процентов: $$S+0,3S+400=2090 \;\Rightarrow\; 1,3S=1690 \;\Rightarrow\; S=\dfrac{1690}{1,3}=1300.$$

Таким образом начальная сумма кредита равна 1300 тыс. руб.