ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредиты

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-⁠то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  в июле 2030 года долг должен составлять 600 тыс. руб.;

—  в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2230 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит платёж в 2035 году.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить таблицу долгов и платежей по годам, выразить каждую выплату как сумму фиксированного погашения долга и процентов r100⋅(долг на июль пред. года)\frac{r}{100}\cdot(\text{долг на июль пред. года}), затем сложить все платежи и приравнять к заданной сумме выплат, чтобы найти rr.

Долг убывает равными частями: за первые 5 лет (2026–2030) с 700700 до 600600 тыс. руб., значит ежегодное уменьшение 700−6005=20\dfrac{700-600}{5}=20 тыс. руб. За вторые 5 лет (2031–2035) долг уходит с 600600 до 00, поэтому уменьшение составляет 6005=120\dfrac{600}{5}=120 тыс. руб. в год.

Каждый январь долг возрастает на r%r\% от суммы, оставшейся на июль предыдущего года, поэтому начисленные проценты равны r100⋅(долг на июль пред. года)\dfrac{r}{100}\cdot(\text{долг на июль пред. года}). Платёж = сумма погашения долга (20 или 120) + эти проценты.

Посчитаем проценты по годам, используя долги на июль: 700, 680, 660, 640, 620, 600, 480, 360, 240, 120 тыс. руб.: 700r100=7r, 680r100=6,8r, 660r100=6,6r, 640r100=6,4r, 620r100=6,2r,\frac{700r}{100}=7r,\ \frac{680r}{100}=6{,}8r,\ \frac{660r}{100}=6{,}6r,\ \frac{640r}{100}=6{,}4r,\ \frac{620r}{100}=6{,}2r, 600r100=6r, 480r100=4,8r, 360r100=3,6r, 240r100=2,4r, 120r100=1,2r.\frac{600r}{100}=6r,\ \frac{480r}{100}=4{,}8r,\ \frac{360r}{100}=3{,}6r,\ \frac{240r}{100}=2{,}4r,\ \frac{120r}{100}=1{,}2r.

Общая сумма выплат — это сумма всех погашений долга плюс сумма всех процентов: 5⋅20+5⋅120+(7+6,8+6,6+6,4+6,2+6+4,8+3,6+2,4+1,2)r=700+51r.5\cdot20+5\cdot120+(7+6{,}8+6{,}6+6{,}4+6{,}2+6+4{,}8+3{,}6+2{,}4+1{,}2)r=700+51r.

По условию сумма выплат равна 22302230 тыс. руб., значит 700+51r=2230  ⇒  51r=1530  ⇒  r=30.700+51r=2230 \;\Rightarrow\; 51r=1530 \;\Rightarrow\; r=30.

Платёж в 2035 году равен 120+1,2r=120+1,2⋅30=156120+1{,}2r=120+1{,}2\cdot30=156 тыс. руб., то есть 156 000156\,000 руб.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют базу для начисления процентов — берут долг после уменьшения, а не долг на июль предыдущего года
  • Считают уменьшение долга одинаковым на все 10 лет, не разделяя период 2026–2030 и 2031–2035
  • Ошибки при сложении коэффициентов при rr (7+6,8+6,6+…+1,2), что приводит к неверному значению rr
Непонятно?

Похожие задачи