ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-⁠то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2300 тысяч рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Ввести переменную для долга в середине срока (5S), выразить оба участка кредита как арифметические прогрессии платежей и использовать сумму всех платежей для составления уравнения.

Пусть долг в июле 2030 года равен 5S5S тыс. руб. По условию в 2026–2030 гг. долг убывает равными шагами от 1500 до 5S5S, значит шаг равен 1500−5S5=300−S\frac{1500-5S}{5}=300-S. Отсюда долги на июль: 2026 — 1200+S1200+S, 2027 — 900+2S900+2S, 2028 — 600+3S600+3S, 2029 — 300+4S300+4S, 2030 — 5S5S.

В 2031–2035 гг. долг убывает равными шагами от 5S5S до 0, шаг равен SS: долги 4S, 3S, 2S, S, 0.

Каждый год платёж = (долг после начисления 10% в январе) − (долг в июле того же года). Эти платежи образуют арифметическую прогрессию, поэтому сумму находим как (a1+an)2⋅n\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n.

Для первых пяти лет: первый платёж 1,1⋅1500−(1200+S)=450−S1{,}1\cdot1500-(1200+S)=450-S, последний 1,1(300+4S)−5S=330−0,6S1{,}1(300+4S)-5S=330-0{,}6S. S2026−2030=(450−S)+(330−0,6S)2⋅5=1950−4S.S_{2026-2030}=\frac{(450-S)+(330-0{,}6S)}{2}\cdot5=1950-4S.

Для последних пяти лет: первый платёж 1,1⋅5S−4S=1,5S1{,}1\cdot5S-4S=1{,}5S, последний 1,1S−0=1,1S1{,}1S-0=1{,}1S. S2031−2035=1,5S+1,1S2⋅5=6,5S.S_{2031-2035}=\frac{1{,}5S+1{,}1S}{2}\cdot5=6{,}5S.

Общая сумма всех выплат равна 2300 тыс. руб.: 1950−4S+6,5S=2300⇒2,5S=350⇒5S=700.1950-4S+6{,}5S=2300 \Rightarrow 2{,}5S=350 \Rightarrow 5S=700.

Значит, долг в июле 2030 года составит 700 тыс. руб. = 700 000 руб.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют знак или величину шага убывания долга в каждом из периодов.
  • Забывают учитывать начисление 10% при расчёте суммы платежа за год.
  • Ошибаются при суммировании арифметической прогрессии, путая количество членов или формулу суммы.
Непонятно?

Похожие задачи