ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2023 года Иван Морозов планирует взять кредит на 8 лет в размере 800 000 рублей. Условия возврата таковы:

—  каждый январь с 2024 по 2027 год долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  каждый январь с 2028 по 2031 год долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Определите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тыс. рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Найти равномерную часть основного долга (800/8=100 тыс. в год), затем выразить суммарные проценты за первые 4 года через неизвестную ставку r, а за последние 4 года — через 15%, и составить уравнение на общую сумму всех выплат.

Долг гасится равными частями: за 8 лет 800 тыс. нужно вернуть, значит основной долг уменьшается каждый июль на 800/8=100800/8=100 тыс. руб. Тогда долг на июль по годам: 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, 100, 0 (тыс. руб.).

В январе долг увеличивается на проценты от долга, оставшегося на июль предыдущего года. С 2024 по 2027 год ставка r%r\%, поэтому долг после начисления процентов: (1+0,01r)⋅800(1+0{,}01r)\cdot800, (1+0,01r)⋅700(1+0{,}01r)\cdot700, (1+0,01r)⋅600(1+0{,}01r)\cdot600, (1+0,01r)⋅500(1+0{,}01r)\cdot500. С 2028 по 2031 год ставка 15%, значит аналогично для 400, 300, 200, 100.

Выплата в каждом году состоит из части основного долга (100 тыс.) и начисленных процентов. Для первых четырёх лет проценты равны 0,01r⋅(долг на июль пред. года)0{,}01r\cdot(\text{долг на июль пред. года}), для последних четырёх — 0,15⋅(долг на июль пред. года)0{,}15\cdot(\text{долг на июль пред. года}).

Общая сумма всех выплат: S=100⋅8+0,01r⋅(800+700+600+500)+0,15⋅(400+300+200+100)S = 100\cdot8 + 0{,}01r\cdot(800+700+600+500) + 0{,}15\cdot(400+300+200+100) S=800+0,01r⋅2600+0,15⋅1000=800+26r+150=950+26rS = 800 + 0{,}01r\cdot2600 + 0{,}15\cdot1000 = 800 + 26r + 150 = 950+26r

По условию S=1444S=1444 тыс. руб., значит: 950+26r=1444⇒26r=494⇒r=19950+26r=1444 \Rightarrow 26r=494 \Rightarrow r=19

Типичные ошибки

  • Неверно определяют равномерную часть долга — забывают, что она считается от общей суммы кредита, делённой на число лет (8), а не от остатка долга.
  • Путают, на какую сумму начисляются проценты — берут долг на январь текущего года вместо долга на июль предыдущего года.
  • Ошибаются при подсчёте суммы коэффициентов (800+700+600+500) и (400+300+200+100), что приводит к неверному итоговому уравнению.
Непонятно?

Похожие задачи