ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредитыЗадачи о кредитах

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Равномерное уменьшение долга даёт фиксированную сумму погашения тела кредита за год, а проценты начисляются на остаток долга предыдущего года; суммируя проценты и тело долга, получаем уравнение для r.

Кредит гасится за 6 лет, и по условию долг на июль каждого года уменьшается на одну и ту же величину. Так как за 6 лет долг уходит с 600 тыс. до 0, ежегодное уменьшение долга равно 600/6=100600/6=100 тыс. руб. Значит долг на июль последовательных лет: 600,500,400,300,200,100,0600,500,400,300,200,100,0 тыс. руб.

В январе перед очередной выплатой на текущий остаток долга начисляются проценты. В первые три года (2026–2028) ставка r%r\%, поэтому проценты начисляются на суммы, которые были долгом на июль предыдущего года: 600,500,400600, 500, 400 тыс. руб. В следующие три года (2029–2031) ставка 15%15\%, проценты начисляются на 300,200,100300, 200, 100 тыс. руб.

Каждая годовая выплата состоит из начисленных процентов плюс часть тела долга, которая должна погаситься за год, то есть 100100 тыс. руб. Поэтому сумма всех выплат: 600+r100(600+500+400)+15100(300+200+100)=600+15r+90=690+15r.600+\frac{r}{100}(600+500+400)+\frac{15}{100}(300+200+100)=600+15r+90=690+15r. Здесь 600600 — это сумма всех «телесных» частей долга (по 100 тыс. руб. за 6 лет), а остальные слагаемые — суммарные проценты.

По условию общая сумма выплат равна 930930 тыс. руб., значит: 690+15r=930  ⇒  15r=240  ⇒  r=16.690+15r=930 \;\Rightarrow\; 15r=240 \;\Rightarrow\; r=16.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют, на какую сумму начисляются проценты — путают долг до и после выплаты.
  • Забывают, что тело долга гасится равными частями по 100 тыс. руб., и пытаются искать его через геометрическую прогрессию.
  • Ошибаются в подсчёте суммы процентов, складывая не те годы (например, включают все шесть лет под одну ставку).
Непонятно?

Похожие задачи