ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:

—  в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая  — может быть разной для разных годов);

—  в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.

В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором  — 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита (в млн рублей), если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить уравнения баланса долга для обоих банков, выразить общие годовые выплаты через сумму кредита, сравнить их, чтобы определить более выгодный банк, а затем через неравенство на разницу выплат найти диапазон суммы кредита и выбрать целое значение в миллионах.

Пусть сумма кредита S тыс. руб., а годовая сумма выплат в первом банке — xx, во втором — yy (тыс. руб.).

Схема кредита: каждый год долг сначала умножается на коэффициент (1+ставка), а затем за год выплачивается сумма xx (или yy); после трёх лет долг обнуляется.

Для первого банка (ставки 10, 20, 15%): ((1,1S−x)⋅1,2−x)⋅1,15−x=0.((1{,}1S-x)\cdot1{,}2-x)\cdot1{,}15-x=0. Раскрывая скобки, получаем 1,1⋅1,2⋅1,15 S−3,53x=0 ⇒ 1,518S=3,53x.1{,}1\cdot1{,}2\cdot1{,}15\,S-3{,}53x=0\ \Rightarrow\ 1{,}518S=3{,}53x.

Для второго банка (ставки 15, 10, 20%): ((1,15S−y)⋅1,1−y)⋅1,2−y=0 ⇒ 1,518S=3,52y.((1{,}15S-y)\cdot1{,}1-y)\cdot1{,}2-y=0\ \Rightarrow\ 1{,}518S=3{,}52y.

Приравнивая правые части, получаем 3,53x=3,52y3{,}53x=3{,}52y, откуда y=3,533,52x>xy=\dfrac{3{,}53}{3{,}52}x>x. Значит, первый банк выгоднее — общая сумма выплат по нему 3x3x меньше, чем 3y3y по второму.

Выгода (в тыс. руб.) — это 3y−3x3y-3x, и по условию 14≤3y−3x≤1514\le 3y-3x\le 15. Подставляя y=3,533,52xy=\dfrac{3{,}53}{3{,}52}x: 14≤0,01x3,52⋅3≤15 ⇒ 1400⋅3,523≤x≤500⋅3,52.14\le \dfrac{0{,}01x}{3{,}52}\cdot3\le 15\ \Rightarrow\ \dfrac{1400\cdot3{,}52}{3}\le x\le 500\cdot3{,}52.

Умножая все части на 3,533{,}53 и используя 3,53x=1,518S3{,}53x=1{,}518S, переходим к неравенству для SS: 1400⋅3,52⋅3,533⋅1,518≤S≤500⋅3,52⋅3,531,518.\dfrac{1400\cdot3{,}52\cdot3{,}53}{3\cdot1{,}518}\le S\le \dfrac{500\cdot3{,}52\cdot3{,}53}{1{,}518}.

Так как 8<3,52⋅3,531,518<98<\dfrac{3{,}52\cdot3{,}53}{1{,}518}<9, получаем оценку 3728<S<4500.3728<S<4500.

По условию S — целое число миллионов рублей (то есть кратно 1000 тыс.), единственное подходящее значение — S=4000S=4000 тыс. руб., то есть 4 млн рублей.

Типичные ошибки

  • Неправильное раскрытие итеративной формулы начисления процентов и вычитания платежа за каждый год
  • Ошибка при определении, какой банк выгоднее, без сравнения коэффициентов при x и y
  • Потеря множителя 3 (три года) при переходе от разницы годовых платежей к общей выгоде по кредиту
Непонятно?

Похожие задачи