ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Мороз Иванович для покупки новогодних подарков планирует в декабре взять кредит на целое число тысяч рублей на четыре года на следующих условиях:

—  в июле каждого года действия кредита долг Мороза Ивановича возрастает на 10% по сравнению с началом года;

—  в конце первого и третьего годов Мороз Иванович выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год;

—  в конце второго и четвертого годов Мороз Иванович выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью.

Найдите наименьший размер кредита в тыс. руб., при котором общая сумма выплат превысит 2021 тыс. руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить баланс долга по годам (рост на 10% в июле, разные типы выплат), выразить постоянный платёж xx через SS из условия полного закрытия долга к концу 4‑го года, найти суммарную выплату как функцию SS и решить неравенство B(S)>2021B(S)>2021.

Пусть SS — размер кредита (тыс. руб.), а xx — одинаковая выплата во второй и четвёртый год.

Год 1. В июле долг вырастает на 10%: 1,1S1{,}1S. Выплачиваются только проценты: 0,1S0{,}1S. Долг в декабре остаётся SS (тело кредита не тронуто).

Год 2. В июле долг снова растёт на 10% от суммы, оставшейся с начала года (SS): 1,1S1{,}1S. Выплата xx уменьшает долг: он становится 1,1S−x1{,}1S-x.

Год 3. Долг растёт на 10%: 1,1(1,1S−x)1{,}1(1{,}1S-x). Платят только проценты: 0,1(1,1S−x)0{,}1(1{,}1S-x), поэтому долг в декабре не меняется и равен 1,1S−x1{,}1S-x.

Год 4. Долг вырастает до 1,1(1,1S−x)1{,}1(1{,}1S-x), и последней выплатой xx он полностью закрывается: 1,1(1,1S−x)−x=0.1{,}1(1{,}1S-x)-x=0.

Отсюда 1,21S−2,1x=01{,}21S-2{,}1x=0, то есть x=1,21S2,1.x=\frac{1{,}21S}{2{,}1}.

Сумма всех выплат — сложим четыре платежа: B=0,1S+x+0,1(1,1S−x)+x=0,21S+1,9x.B=0{,}1S+x+0{,}1(1{,}1S-x)+x=0{,}21S+1{,}9x.

Подставим xx: B=0,21S+1,9⋅1,21S2,1=0,21⋅2,1S+1,9⋅1,21S2,1=2,74S2,1.B=0{,}21S+1{,}9\cdot\frac{1{,}21S}{2{,}1}=\frac{0{,}21\cdot2{,}1S+1{,}9\cdot1{,}21S}{2{,}1}=\frac{2{,}74S}{2{,}1}.

Условие задачи — сумма выплат больше 2021: 2,74S2,1>2021  ⟺  2,74S>4244,1  ⟺  S>424410274=212205137≈1548,94.\frac{2{,}74S}{2{,}1}>2021 \;\Longleftrightarrow\; 2{,}74S>4244{,}1 \;\Longleftrightarrow\; S>\frac{424410}{274}=\frac{212205}{137}\approx1548{,}94.

Поскольку SS — целое число тысяч рублей, наименьшее подходящее значение S=1549S=1549.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что в 1‑й и 3‑й годы гасится часть основного долга, а не только проценты, что искажает баланс долга на следующий год.
  • Неверно находить xx: забывать, что рост на 10% в 4‑м году применяется к долгу после его увеличения в июле, а не к остатку декабря предыдущего года.
  • Забыть, что SS должно быть целым числом тысяч рублей, и округлить в неверную сторону при решении неравенства.
Непонятно?

Похожие задачи